|
||||
ГЛАВА 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
При синтезе ИИС необходимо метрологическое согласование её элементов. Это требует исследования стохастических характеристик ее элементов, в том числе и процесса дискретизации. При этом необходимо иметь в виду, что дискретизация и кусочно-линейная интерполяция составляют единый процесс преобразования информации, поэтому погрешность дискретизации является одновременно и погрешностью интерполяции. В этих условиях исследовав стохастические характеристики дискретизации уже нет необходимости ставить вопрос о стохастических свойствах интерполяции. Действительно, в моменты отсчетов мы имеем точный замер. Неопределенность появляется за счет неопределенности информации в промежутке между отсчетами. В этом смысле можно говорить или о точности интерполяции как способа восстановления информации после дискретизации, или о точности дискретизации как о процессе преобразования в целом.
1.Ясно, что погрешность дискретизации наибольшая там, где наибольшая неопределенность информации, а она наибольшая в середине интервала. В этом процессе имеются две случайные составляющие:
- неопределенность в динамичности параметра в данный момент. Динамичность может быть максимальна и тогда, когда мы имеем реализацию в виде аппроксимирующей косинусоиды. И минимальная динамичность, при которой аппроксимирующая синусоида вырождается в прямую линию. Обычно параметр протекает как-то средне и более-менее близок к нормальному распределению.
- неопределенность в положении отсчетов по отношению к аппроксимирующей косинусоиде. В этом случае мы имеем арккосинусоидальный закон распределения погрешности. Определение совместного закона распределения этих двух составляющих довольно сложно, да и не очень нужно. Учитывая ничтожность [9] влияния погрешности от погрешности на погрешность процесса измерения в целом можно считать его и нормальным, однако если посмотреть на Рис.6, можно считать вполне обоснованным и более точное мнение, что погрешность дискретизации имеет равномерное распределение. В работе [10] показано, что применение доверительной вероятности Р = 0,997 соответствующей уровню 3s не имеет достаточно оснований, поскольку он соответствует особенностям нормального распределения. Поскольку это условие не всегда выполняется, то рекомендуются другие критерии. В частности, исходя из анализа ряда распределений, автор работы [10] приходит к выводу, что для широкого класса законов распределения самым предпочтительным является Р = 0,95 при s = 1,65. Это особенно важно при суммировании погрешностей. В связи с этим, ниже принимается такая рекомендация.
![]() |
Рис.6 |
![]() |
Рис.7 |
На Рис.7
показана зависимость интегральных затрат на аппаратуру - G в зависимости от
требований к точности этой аппаратуры. Под интегральными затратами понимаются
все виды требуемых затрат на аппаратуру, а именно: веса, габаритов, потребляемой
мощности, себестоимости и т.д. Кривая -a- соответствует цифровым
преобразованиям. Действительно, точность цифровых преобразований зависит от
разрядности чисел. Она связана с точностью соотношением:
N=log2(80/2Dп),
(4.1) где Dп приведенная погрешность измерения.
Действительно: N = log2m, где m число уровней разбиения диапазона измерения в геометрической мере. Но в пределах одного уровня параметр до квантования определен по равномерному закону ( в силу его неопределенности) с математическим ожиданием посредине уровня. С учетом Р = 0,95 и s = 1,65 соответствует 0,8. Таким образом Dп соответствует величине уровня квантования 2Dп/0,8. Учитывая, что приведенная погрешность выражена в процентах, диапазон измерений равен 100%, что позволяет получить формулу (4.1). Очевидно, что при росте точности измерения G будет расти по логарифмическому закону.
Что касается погрешности дискретизации, то она связана с частотой опроса формулой: fд = К Ö( 1/ Dд), где К - коэффициент пропорциональности. При использовании первой производной: fд=К(1/Dд). В общем случае, можно считать, что зависимость fд (Dд ) пройдет между линейной зависимостью и зависимостью пропорциональной корню квадратному - кривая -b- на Рис.7.
Обеспечение необходимой точности аналоговыми средствами требует наибольших затрат. Общеизвестно, что увеличение этих затрат с ростом требуемой точности близко к степенной зависимости - кривая -c-. Под погрешностью аналоговых преобразований подразумевается как методические, так и инструментальные погрешности датчиков.
3. При
выборе соотношений погрешностей преобразований необходимо пользоваться принципом
ничтожной погрешности. Сущность ее состоит в следующем. Известно, что сложение
погрешностей производится по
формуле:
________
Dс = Ö D12 + D22.
Полагая, что D1 = 1,
получим:
______
Dс = Ö 1 + D22
.
Эта зависимость показана на Рис.8. Очевидно, что учитывая рекомендации [9], можно полагать, что отклонение заданной погрешности от номинальной до 0,1 её величины практически не меняет степень доверия к информации. Обычно и определение норм погрешности имеет весьма приближённый, качественный характер.
![]() |
Рис.8 |
4. Исходя из вышеизложенного, можно принять такую методологию: Погрешности квантования при достаточной разрядности АЦП, вычислительных устройств и накопителей информации можно пренебречь. Действительно, уже при восьми разрядах погрешность квантования составляет менее 0,1%. Обычно разрядность квантования значительно больше. Погрешность же дискретизации на основании критерия ничтожной малости можно принимать в три раза меньше чем совокупная методическая и инструментальная погрешность. В этом случае можно полагать, что процесс дискретизации погрешностей в процесс измерения вообще не вносит.
ГЛАВА 5. ВЛИЯНИЕ ПОМЕХ НА ДИСКРЕТИЗАЦИЮ
Важным стохастическим свойством дискретизации является влияние на нее помех. Под помехами обычно подразумевают аномальные измерения и шумы.
1. Шумы имеют частоты находящиеся вне диапазона частот измерений, в связи с этим воздействие шума на соседние отсчеты некоррелировано. На Рис.9 показано влияние шума на дискретизацию при условии, что воздействию шумовой помехи подвергнута выборка t1.
![]() |
![]() |
Рис.9 | Рис.10 |
![]() |
Рис.11 |
Таким образом, дискретизация с кусочно-линейной интерполяцией обладает свойством фильтрации, уменьшая влияние шума в 0,7 раза. При этом шум в 0,7 раза меньше чем погрешность дискретизации может не учитываться вообще, поскольку влияние его ничтожно. При амплитуде шума больше 0,7, необходимо увеличение частоты опроса с целью дальнейшего выполнения операций по фильтрации.
2. Теория фильтрации является важной частью теории информации. С точки зрения связи этот вопрос рассматривается давно, в том числе и при дискретной связи. В отношении проблем фильтрации в приложении к информационно-измерительным системам ясности нет до настоящего времени. Фильтрация есть ни что иное, как сравнение совокупности измерений с t i по t i + n и их усреднение. Поэтому все фильтры, в общем виде, являются рекурсивными. Отличие их состоит в количестве прямых и обратных связей. Общая схема такого фильтра показана на Рис.12 [11].Выбор коэффициентов a0 - an и b0 - bm определяют передаточную функцию фильтра и его порядок.
![]() |
Рис.12 |
В целом вопрос фильтрации довольно сложен. Но необходимо заметить, что сложность таких фильтров тогда проявляется, когда для фильтрации используется большое число отсчетов. Однако, при определении частот опросов по методу косинусоидальной аппроксимации, как показано ранее, интервал между отсчетами выбирается такой, что отсчеты вне этого интервала стохастически не связаны с этим интервалом. Поэтому их использование для фильтрации не имеет основания. Ведь фильтрация есть использование совокупности отсчетов стохастически взаимосвязанных между собой. Поэтому для фильтрации необходимо повышать частоту опроса. Анализ материалов реальных измерений показывает, что характеристики помех таковы, как будет показано далее, что избыточность частоты отсчетов нужна небольшая (в два - три раза). Поэтому задача фильтрации ограничивается простейшими случаями. Таким образом, подробный анализ описанных в [12] фильтров, в рамках данной работы, не является необходимым.
Что касается фильтрации по алгоритмам Калмана-Бъюси [13], то эта фильтрация разработана для многопараметрических систем и отражает структуру этих систем. В простейшей постановке задачи, когда имеется один измеряемый параметр и математическая модель объекта неизвестна, фильтрация по Калману сводится к методу минимума средних квадратов ( методу Гаусса), который в свою очередь при числе замеров равном двум сводится к определению их среднеарифметического.
Вариантами рекурсивных фильтров являются фильтры основанные на сплайн-функциях. Алгоритм данного фильтра строится на применении линейного преобразования на базе подвижного интервала, то есть отфильтрованные значения вычисляются для средней точки интервала. Этот метод также имеет в виду, что все отсчеты информационно связаны, но, как было показано, отсчеты вне интервала между отсчетами определенными по методу косинусоидальной аппроксимации с этим интервалом не связаны. Поэтому для фильтрации необходимо увеличивать число отсчетов. Следовательно, метод на основе сплайн-функций трансформируется просто к усреднению.
3. Анализ материалов реальных измерений показывает, что шумовые помехи чаще всего сводятся к двум видам, гауссовский шум и синусоидальные колебания с наложенным гауссовским шумом. Источником шума первого вида как правило являются тепловые шумы в аналоговых цепях первичных преобразователей. Источником вторых - вибрации конструктивных элементов объекта.
Как было показано выше, случайная выборка из синусоиды дает арккосинусоидальное распределение. Наложение не нее гауссовского шума сглаживает боковые выбросы и распределение вероятности, приближается к равномерному. Как было показано выше, граничная частота спектра измеряемого параметра априорно определяется как аппроксимирующая косинусоида. При увеличении частоты дискретизации, в отношении данной косинусоиды, погрешность в её измерении будет уменьшаться по закону, описанному в ПРИЛОЖЕНИИ 2.
Как было показано ранее, процесс дискретизации, совместно с интерполяцией, уменьшает помехи примерно в 0,7 раз. Положим, что помеха в виде синусоидального колебания примыкает к граничной частоте параметра. Максимальная погрешность при дискретизации и дальнейшей интерполяции для различных N =T/DT имеет вид показанный на Рис.13 , где T период синусоиды, а DT период дискретизации.
![]() |
![]() |
Рис.13 | Рис.14 |
D'x=0 при cosx=2/p; отсюда: x=arccos(2/p).
Следовательно: Dxmax = [(sin
arccos(2/p))-(2/p)arccos(2/p)]
=
_______
_______
[sin arccsin Ö1-(2/p)2 - (2/p)arcsin Ö1-(2/p)2]
=
______
______
[Ö1-(2/p)2 - (2/p)arcsinÖ1-(p/2)2] = 0,77 - 0,56
= 0,21, или 21%.
Таким
образом, кривая минимума погрешности (21%) пройдет ниже кривой (100%).
В
среднем, учитывая равномерное распределение отсчетов и арккосинусоидальное
распределение выборок по синусоиде, погрешность будет примерно вдвое меньше 100%
погрешности. То есть синусоида на краю диапазона будет искажаться в среднем
вдвое. Поэтому АЧХ в зоне полосы пропускания будет иметь в среднем
вид (Рис.15). Этот рисунок имеет в виду амплитуду, соответствующую
диапазону погрешности дискретизации. Частоты же более низкие имеют большую
амплитуду. Но, во всяком случае, погрешность дискретизации не превосходит
заданной погрешности.
![]() |
Рис.15 |
Действительно, как фильтр Калмана при этих условиях сводится к методу Гаусса, так и рекурсивные методы сводятся к суммированию двух значений с коэффициентом равным - 1/2 и с определением середины интервала. Поэтому, не отвергая всего многообразия методов фильтрации, можно сделать один вывод, что при наличии двух отсчетов метод фильтрации один, это усреднение.
Предположим, что для обеспечения фильтрации мы увеличили частоту дискретизации вдвое. При этом, будем увеличивать частоту помехи от wв (Рис.15). Для начала положим, что она несколько больше частоты wв. Кроме того, учитывая, что синусоидальные помехи совместно с гауссовским шумом имеют близкое к равномерному распределение вероятности и могут быть заменены моделью имеющей такое же распределение то далее в качестве модели принимается колебание в виде треугольного.
![]() |
Рис.16 |
![]() |
Рис.17 |
![]() |
Рис.18 |
![]() |
Рис.19 |
![]() |
Рис.20 |
![]() |
Рис.21 |
![]() |
Рис.22 |
![]() |
Рис.23 |
![]() |
Рис.24 |
![]() |
Рис.25 |
С учетом этого АЧХ фильтров будут иметь вид (Рис. 22 и 23). Необходимо иметь в виду следующее. Во-первых, рассматриваемые нами модели несколько искусственны. Поэтому в низкочастотных синусоидально-подобных шумах присутствуют и высокочастотные помехи. Во-вторых, эффективность фильтрации синусоиды при увеличении числа выборок растет все медленнее (см. Рис.24) и подчиняется зависимости Рис.25. Поэтому повышение частот опросов для фильтрации N > 4 не имеет смысла. Таким образом, процесс фильтрации требует увеличения частот опросов, но алгоритмы расчёта несложные и достаточно эффективные.
2. Теперь рассмотри вопросы, связанные с аномальными измерениями. Аномальные измерения могут иметь различные физические причины. К ним могут относиться дефекты ленты магнитных накопителей, сбои в цифровых линиях передачи, броски питания датчиков, дребезг контактов и т.д. Однако в информационном плане все они одинаковы. Когда мы смотрим на аномальное измерение, то можем сказать одно - “ этого не может быть, потому что не может быть никогда”. Проблема возникает тогда, когда ставится вопрос как определить, может это быть или нет. Очевидно, что ответить на этот вопрос можно только тогда, когда априорно известна динамика регистрируемого процесса. Например, если мы видим, что идет запись высоты летательного аппарата равная 5000м и вдруг. через 0,1с. появилась отметка 200м, то вряд ли кто либо усомнится, что налицо типичное аномальное измерение. Но когда появилась отметка 5020м, то уже трудно отнести его к аномальному измерению. Нужен критерий достаточно надежный и простой в реализации в виде вычислительного алгоритма для определения аномального измерения.
Существуют различные алгоритмы ликвидации аномальных измерений. Здесь мы рассмотрим один из возможных методов, который может быть полезен когда при подготовке ИИС известна динамика процесса на основе которой, а также при заданной точности измерений, определяется частота дискретизации измеряемого параметра. В том случае, если частота опроса параметра определяется на основе теории аппрксимирующей косинусоиды, можно утверждать, что при очередном замере параметр не может отклониться от предыдущего более чем на 3D.
Действительно, в этом случае речь идет об экстраполяции, поскольку очередной замер нам апосториорно не известен. Мы можем только предполагать его значение. Поэтому, используя формулу для случая экстраполяции и учитывая, что запись производится для случая интерполяции, мы считаем, что параметр может измениться на величину не более 3D. В случае, если частота дискретизации вообще определялась на случай экстаполяции, то в качестве критерия нужно брать величину D.
Что делать с аномальным измерением? Естественно, если оно аномальное, то это и вовсе не измерение. Можно считать, что его и вовсе не было. Если его необходимо восстановить, то необходимо взять очередной отсчет и путем интерполяции определить пропущенный. Естественно, хотим мы этого или нет, но информация для нас потеряна, поэтому погрешность на интервале пропущенного аномального измерения будет больше заданной. Но вероятность этого небольшая и с ней можно мириться. Далее, несмотря на то, что мы определяем частоту опросов, точно она не выдерживается по ряду причин системного характера, например, за счет кратности частот опросов по разным параметрам. Поэтому часто реальная частота опросов превышает расчетную. Кроме того, точно знать динамику измеряемых параметров вряд ли возможно, поэтому даже самый компетентный специалист завысит значения характеристик динамичности измеряемых параметров. И, наконец, учитывая, что параметр редко выходит на предел динамичности можно в качестве критерия брать не 3D, а 2D. В этом случае погрешность определения аномального измерения и погрешность его восстановления согласуются почти полностью.
Аномальные измерения относятся к тому случаю, когда действия, которые необходимо предпринять, имеют логические основания и особых исследований с применением разнообразного и сложного математического аппарата просто не требуется. В этом вопросе возможны два методических подхода. Первый соответствует тому случаю, когда информация поступает к нам по мере её возникновения. Мы получаем очередное значение измеряемого параметра, и что будет дальше, не знаем. Второй случай - когда вся информация или хотя бы часть её после последнего аномального измерения нам известна. На основе этих подходов могут разрабатываться и различные алгоритмы.
Аномальные измерения могут следовать в виде единичных измерений (Рис.26а), пачек
или пакетов (б), или в виде разрывов в измерении параметра (в). Первый может
быть связан, например, со сбоями в цифровой аппаратуре, второй с нарушение
контактов в потенциометрических датчиках или пропадание напряжения питания,
третий, например, со склейкой различных участков магнитной ленты регистраторов.
Выбор решения в таких случаях требует адаптивного подхода, который в наибольшей
степени свойственен логике человеческого мышления.
Рассмотрим
этот вопрос с точки зрения первого методического подхода. Априорно мы имеем
критерий обнаружения 3D. Поэтому, чтобы обнаружить
аномальное измерение, мы производим с каждым полученным измерением операцию
сравнения (Рис.27):
если | ai – ai+1 |
больше 3D, это соответствует 1, если | ai –
ai+1 | меньше или равно 3D, это
соответствует 0 В случае если решение равно 1, то мы
имеем аномальное измерение. Мы потеряли информацию. Ставится задача ее
восстановить. При этом можно принять два решения основывающихся на
экстраполяционном и интерполяционном подходе. Выбор того или иного решения
определяется в каждом конкретном случае исходя из двух соображений. С одной
стороны, экстраполяционный подход прост. Просто аi мы принимаем
равным ai+1. Однако его погрешность больше. Интерполяционный подход,
при котором ai определяется по формуле:
ai=(ai+1 + ai-1 )/2 дает погрешность 1,5D, то есть в два раза меньше, но имеет более сложный алгоритм
решения, а, следовательно, больше время на обработку и больший объем
памяти. Однако, имея в виду, что частота опросов определяется по максимальному
критерию погрешности, а расчет измерительной системы в целом, (включая и
стохастические характеристики измеряемого параметра) по среднеквадратическому
критерию, есть основания полагать, что в среднем погрешность экстраполяционного
метода сравнима с погрешностью интерполяционного. Поэтому, есть
основания выбрать экстраполяционный метод как основной, учитывая, тем не менее,
возможность применения интерполяционного метода.
Теперь перейдём к случаю (б). Очевидно, что интервал между истинными отсчетами ai-1 и ai+1 вдвое больше чем между ai-1 и ai . Поэтому вполне возможно, что за период 2Dt , параметр отклонится на величину 2´3D = 6D. Таким образом, после первого аномального измерения, мы должны критерий обнаружения аномального измерения увеличить вдвое. Для следующих аномальных измерений мы поступаем также до тех пор, пока мы не получим нормальное измерение, после чего веси интервал интерполируем. Экстраполяцией здесь мы не обойдемся, поскольку будет слишком большая погрешность.
Число точек при восстановлении в случае (в),Рис.26, будет равно Da/3Dд. Например, если разрыв Dа равен 50% диапазона и Dд = 1%, то
N = 50/3 или примерно равно 15 точек. Характер восстановления по описанному
методу будет иметь вид (Рис.28). Очевидно, что этот метод, будучи довольно простым, имеет
тот недостаток, что теряется информация в случае разрывов функции. Попытаемся
устранить этот недостаток. Чтобы восстановить функцию после ее последующего
анализа необходимо запоминание её предыдущих значений. Положим, что мы имеем
такую память. Тут могут быть два случая. Во-первых, аномальное измерение
представленное рядом выборок, число которых, тем не менее, меньше чем позволяют
динамические характеристики объекта. То есть после последнего аномального
отсчета появляется истинный отсчет, который по отношению к аномальному выглядит
как аномальное измерение. В этом случае каждое очередное измерение проверяется
по критерию аномальности, Когда наступит скачек, все предыдущие аномальные
измерения отбрасываются и заменяются линейной интерполяцией. Если через заданное
число измерений нового скачка не наступает, то считается, что это разрыв функции
и все предыдущие аномальные измерения считаются верными и передаются на
обработку. Восстановленная функция при этом будет иметь вид (Рис.29).
Однако, как отмечалось, в этом случае необходима большая оперативная память, а
также необходима задержка на обработку, которая может быть недопустима в случае,
если обработка информации должна производится в реальном масштабе времени.
![]() |
Поиск и навигация по сайту | ||||||
Copyright©2001 | ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ |