ПРИЛОЖЕНИЕ 2. СТРОБОСКОПИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ

            Стробоскопический эффект в теории измерительной информации недостаточно известен. В связи с этим рассмотрим его подробнее. Применение здесь частотных методов здесь весьма затруднительно. В работе [60] приведена попытка решения этой задачи. Здесь исходная функция представлена в виде последовательности отсчётов умноженных на ряд равноотстоящих d-функций.При этом результирующая функция приобретает вид:

, где- период дискретизации, - номер отсчёта. В результате довольно громоздких выкладок показано, что “спектр квантованной величины оказался отличным от нуля и на низких частотах, хотя этих частот в непрерывной функции не содержалось”. В общепринятом понимании теоремы Котельникова(Шеннона) появления новых спектральных составляющих быть не должно, поскольку это искажение сигнала.
Рис.60

            В связи с этим, остановимся на рассмотрении стробоскопического эффекта. Дана исходная синусоида. Из неё сделаны выборки с частотой несколько большей удвоенной частоты синусоиды. Далее функция восстанавливается фильтром. В результате получается модуляция с некоторой частотой W. Этот процесс промоделирован на установке, схема которой показанаРис.60.

             В состав установки входят: генератор синусоидальных колебаний (ГСК); формирователь синхроимпульсов (ФСИ); модулятор (М); генератор импульсов (ГИ); фильтр (Ф) и осциллограф. Фильтр - низкочастотный с прямоугольной полосой пропускания. Генератор импульсов - с регулируемой скважностью.

        В результате исследования стробоскопического эффекта получены осциллограммы, показанные на приведенных ниже фотографиях.

Фото.3
Фото.4
Фото.5
Фото.6
Фото.7
Фото.8
Фото.9
Фото.10
Фото.11
            На Фото.3 показана исходная синусоида. На Фото.4 полученные выборки, частота которых несколько больше удвоенной частоты синусоиды. На Фото.5 – сигнал, полученный после восстанавливающего фильтра. Явно видно возникновение биений на частоте примерно на 8% больше удвоенной частоты синусоиды. При повышении частоты выборок в пределах одной кратности частота биений увеличивается (Фото.6 и Фото.10). А при увеличении кратности частоты выборок по отношению к частоте синусоиды амплитуда биений уменьшается (Фото.7 и Фото.11). При достаточно большой кратности (Фото.8,9), восстановленная синусоида визуально становится неотличимой от исходной синусоиды (Фото.3).

            Очевидно, что если частота выборок равна удвоенной частоте синусоиды, то, в зависимости от фазового сдвига, выборки могут попадать на нулевые значения синусоиды, экстремумы или промежуточные значения. В связи с этим, поскольку априорно фаза выборок относительно синусоиды нам не  известна, то после восстановления сигнала фильтром синусоиду вообще можно не увидеть. Поэтому можно сказать, что погрешность в передаче синусоиды при частоте выборок равной удвоенной частоте синусоиды равна ста процентам. Уже этого достаточно для подтверждения правильности выводов изложенных во второй главе.

            Тем не менее, произведем некоторые теоретические исследования этого эффекта. Итак, дана исходная синусоида с частотой . Из неё делаются выборки с частотой . При этом используется полосовой фильтр низких частот с частотой среза несколько большей . В результате, если частота выборок несколько больше удвоенной частоте синусоиды, то после фильтра синусоида оказывается модулированной другой низкочастотной синусоидой с частотой W. Расстояние между узлами биений определяется набегом фазы между выборками и синусоидой. При этом каждый узел соответствует совпадению выборки с нулём синусоиды. В этом случае, сдвиг на p/2 получается за , где  - число выборок, а - разность фаз между выборками и полупериодов синусоиды. Но разность фаз может быть сведена к разности частот. Отсюда частота биений W равна - .

             Можно выбрать такие соотношения  и , что составляющие спектра биений окажутся в области полосы пропускания фильтра настолько, что взаимовлиянием спектра кратных частот выборок можно пренебречь. В этих условиях соблюдение требований теоремы Котельникова налицо в полном объёме. При этом проявляется двойственность, в спектральном представлении процесса. С одной стороны, результат восстановления синусоиды на фильтре можно представить в виде биения двух близких по частоте и равных по амплитуде синусоид, что не совсем верно поскольку несущая частота восстановленного сигнала следует за частотой выборок и непонятно совпадение амплитуд при неравномерности АЧХ фильтра, или модуляцией довольно сложной и богатой в спектральном отношении функцией. Это более соответствует действительности, учитывая нелинейность преобразования. Действительно, через счётное число точек можно провести бесконечное число как синусоид, так и функций вообще. Фильтр “не знает” ЧЕГО ОТ НЕГО ЖДУТ. Он просто выбирает такую функцию, которая бы требовала минимума энергии по принципу наименьшего действия [61].

            При частотах выборок кратных частоте синусоиды и больших также наблюдаются биения. При этом наблюдается принцип суперпозиции. Например, при  » процесс можно представить в виде совместного действия двух частот опроса со сдвигом на DT/2. Очевидно, что наибольшая амплитуда биения будет в момент равноотстоящий от двух пучностей. Поскольку огибающие биений – синусоиды, то амплитуда биений равна . Несложно показать, что число 4 есть отношение .

                Аналогично можно получить такие же соотношения для любых кратностей частот выборок и синусоиды. Общая формула будет иметь вид: , где .     (П2.1)

Рис.61
            Вообще говоря, отношение частот выборок и синусоиды не целое число. За счёт этого зависимость погрешности от соотношения частот выборок и синусоиды несколько усложняется, но эти тонкости уже выходят за рамки настоящей работы. Графически эта зависимость показана на Рис.61.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ТОЧНОСТЬ КОСИНУСОИДАЛЬНОЙ АППРКСИМАЦИИ 

Рис.62
            Известно, что всякую аналитическую функцию можно представить в виде степенного полинома [60]:.

            В частном случае можно рассмотреть идеальную модель, при которой , при , равно нулю, а при   равно единице. При этом, . Совокупность таких функций показана на Рис.62. Кривизна функции выражается формулой[5] .

В общем случае: , ;

 

Тогда

                 .                 (П3.1)

 

               . (П3.1)

            Экстремум  определяется при . Тогда, приравняв это выражение к нулю и упростив, можно получить: .

                Подставив полученное  в (П3.1) можно получить: .

                Графически эта функция будет иметь вид, показанный на Рис.63:

                 Рис.63                             Рис.64
             Для определения интервалов опросов необходимо развернуть функции   таким образом, чтобы переменная   была нормальна к вектору . В точках , соответствующих  линия, перпендикулярная вектору  совпадает с . Общее выражение в этом случае: . Графически эта зависимость показана на Рис.64.

            Далее, для сравнения этих функций по интервалам дискретизации необходимо их нормализовать к r=1. Это достигается уменьшением кривизны функции за счёт увеличения масштаба . При нормальном положении оси времени к вектору , . Тогда .

                Если ввести масштаб  по , то (П3.2), тогда . При , . С учетом (П3.2), . Таким образом, при получается переход к уравнению: . То есть, для нормализациина необходимо увеличить  враз. Используя вышеприведенные соображения, были произведены расчёты на ЭВМ, в результате которых получены результаты отражённые на Рис.65.
Рис.65
            По оси n отложена степень составляющей степенного полинома. По оси ординат половина интервала дискретизации. Поскольку кривая нормированной степенной функции несимметрична, то мы имеем две кривые, определяющие максимальную и минимальную величину полупериода дискретизации. На рисунке отражена величина полупериода дискретизации определяемая по методу косинусоидальной аппроксимации -  . Из рисунка видно, требуемые интервалы дискретизации, исходя из анализа измеряемого параметра как степенного ряда, в целом больше, чем определяемые по методу косинусоидальной аппроксимации. При этом нужно учитывать, что реальный параметр практически никогда не состоит из одной степенной функции. Причем, чем выше степень члена степенного ряда, тем меньше его коэффициент , то есть меньше его влияние. В связи с этим, сумма ряда реального измеряемого параметра определяет такие интервалы дискретизации, которые находятся в зоне (а) показанной на рисунке.

            Таким образом, мы можем сделать вывод, что определение интервалов дискретизации по методу косинусоидальной аппроксимации, во-первых, является достаточно точным, во-вторых, практически безизбыточно.

            В отдельных, практически редких случаях, когда параметр близок квадратичной функции, может потребоваться несколько большая частота измерений. Для этого случая в совокупность формул расчета частоты опроса введена соответствующая формула.

            Кроме того, нужно учитывать и то, что при метрологическом расчёте измерительной цепи, погрешность дискретизации должна определяться исходя из принципа ничтожной малости, при этом сама погрешность в определении частоты дискретизации является величиной второго порядка малости и ею, в данном случае можно пренебречь.

               Можно высказать и более общие соображения в пользу косинусоидальной аппроксимации. Просмотр материалов реальных измерений создаёт определённое впечатление, что многие из них, особенно в наиболее –динамичной части, тяготеют к синусоидальному виду. И это не случайно. Объектами измерений, как правило, являются гомеостатическими системами поддерживающими своё заданное состояние или изменяющее его по заданному закону. Это состояние определяется совокупностью обратных связей. Реакция таких систем на возмущающее воздействие описывается уравнениями, дающими или апериодические, или колебательные решения, которые в своей совокупности порождают переходные характеристики хорошо аппроксимирующиеся отрезками синусоиды.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

            Задача интерполяции неразрывно связана с задачей дискретизации. Интерполяция в явном или неявном виде проводится всегда. В явном виде интерполяция производится в том случае, когда параметры, необходимые для расчёта характеристик, измеряются с разной частотой, а характеристики вычисляются с частотой равной максимальной частоте опроса из частот опрашиваемых параметров. Кроме того, интерполяция производится в ряде случаев при графическом представлении параметров или характеристик. При этом интерполяция реализуется программно или аппаратно. В неявном виде интерполяция производится в том случае, если информация регистрируется в табличном виде и интерполяцию производят сознательно или бессознательно, производя оценку значений функции между замерами.

            1.Проблема интерполяции давно привлекала математическую мысль [7]. Великие математики CVII столетия были хорошо знакомы с методами равноотстоящей интерполяции полиномами и развили теорию конечных разностей до высокого уровня. Они пользовались обыкновенными, а также центральными разностями. Основополагающая работа Грегори (1638-1679) была продолжена Ньютоном. Стирлинг, а позднее Бессель добавили ещё несколько формул. Строгая разработка теории интерполяции начинается с Гана и Фихера. Опасности, связанные с равноотстоящим интерполированием полиномами были обнаружены независимо друг от друга Рунге (1904) и Борелем (1903). Разработка методов интерполяции при помощи ортогональных функций была разработана Фурье, Остроградским, Уиттекером, Котельниковым. Методы интерполяции дискретных последовательностей разрабатывались Уолшем, Хааром и т.д.

            В последнее время большую известность получили метод сплайн-функций, разработанный в 1948г. [62,63 и т.д.]. Кроме того, к вопросам интерполяции можно отнести метод Гаусса (метод наименьших квадратов). Разрабатывались стохастические методы интерполяции [45].

            В целом, известные методы интерполяции можно разделить на три основных группы:
            - методы с применением степенных рядов;
            - методы с применением ортогональных функций;
            - методы стохастического анализа.

            2.Сущность методов степенных рядов заключается в предположении, что исходная (до дискретизации) функция может быть представлена степенным рядов вида:  при . Если предположить, что , что обычно выполняется, то сумма остальных членов ряда.

            Тогда:  будет интерполирующий ряд.

            Для определения ряда  необходимо определить , для чего нужно решить систему уравнений при известных значениях . Способы определения , по известным , бывают различными, что и определяет различие методов интерполяции полиномами.

            Одним из наиболее известных интерполяционных алгебраических полиномов является полином Лагранжа [3,48,45 и т.д.]. Известные разновидности полинома Лагранжа – интерполяционные формулы Ньютона, Гаусса, Бесселя, Стирлинга, Эферетта, сплайн-функции и др.

             Преимуществом методов степенных полиномов является их простота при реализации на ЭВМ, поэтому сейчас они являются основными при обработке информации на ЭВМ. Недостатками методов степенных полиномов являются появление эффекта увеличения погрешности при увеличении степени полинома [7] и недостаточная обоснованность применения их к случайным функциям. Это связано с тем, что методы интерполяции первоначально разрабатывались для потребностей астрономии, в частности для расчёта параметров орбит небесных тел (планет, комет, спутников и т.д.) и для составления астрономических календарей. В этих случаях кривая движения небесных тел описывалась с достаточной точностью конечными степенными полиномами, например, движение тела вокруг планеты без спутников описывается кривой второго порядка. Таким образом, интерполирующий полином будет также конечным, конечным является и необходимое число замеров.

            Кроме того, методы интерполяции степенными полиномами нашли применение там, где описывающие полиномы заранее известны и их надо восстановить по известным значениям в отдельных точках. Такая задача решается, например, в чертёжных автоматах.

            Что же касается случайных функций, то интерполяция конечными полиномами связана с погрешностями, которые существенно влияют не только на качество восстановления функции, но и на саму возможность применять интерполяцию для восстановления исходной функции.

            3. Методы применения ортогональных разложений начали развиваться со времени разработки разложения функций по синусоидальным составляющим, разработку которого связывают с именем французского математика Фурье. Математическое значение разложения периодических функций в ряд по синусоидальным функциям было осознано в XVII веке Эйлером и Лагранжем. Заслугой Фурье было распространение возможностей такого разложения на неаналитические функции. Теория ортогональных функций была широко рассмотрена русским математиком Остроградским М.В. [64]. Он отмечал, что “ряд является одним из наиболее простых и полезных рядов, охватываемых общим разложением.” Синусоидальные разложения нашли широкое применение в связи с развитием радиосвязи. Их эффективность оказалась столь высока, что многие начали считать спектральные составляющие сигнала реально существующими [65.66]. В связи с дискретной передачей, в качестве интерполирующей функции В.А.Котельниковым был предложен ряд  ортогональных функций вида: .

            Ортогональными функциями являются функции Чебышева и т.д. Применение этих методов в практике измерений не нашло широкого применения при обработке измерительной информации в связи со сложностью связанных с ними расчётов.

            4.Методы стохастического анализа в своей сущности состоят в определении математического ожидания погрешности дискретизации. В настоящее время при метрологическом анализе процесса дискретизации чаще всего идут этим путём (например [45] и др.). Эти методы пока не нашли широкого применения вследствие трудностей определения стохастических характеристик исходной информации. Кроме того, эти методы применимы для стационарных случайных процессов, в то время, как реально измеряемые параметры таковыми, как правило, не являются. Хотя методически эти методы более приемлемы, так как они отражают случайный характер измеряемой информации.

            Таким образом, несмотря на обилие методов интерполяции, до настоящего времени вопрос о выборе оптимального метода интерполяции в приложении к обработке измерительной информации до конца не решён.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

             Итак, уважаемые коллеги, всё что я хотел нужным изложить относительно теории технической информации, я изложил. Конечно, что то осталось по разным соображениям не включённым в эту книгу. В частности, некоторые вопросы конструктивно-технологического характера, а также материалы апробации разработанных методик и конструктивных решений. Если кого-то заинтересуют эти вопросы, могут ко мне обратиться.

            Заранее хочу ответить тем критикам, которые скажут, что теоретический аппарат изложенных в книге методик слишком прост. Моё мнение таково, что попытки применять без особой на то необходимости какие-то последние писки математической моды редко приводят к чему-либо путному. Иногда думают, что стоит найти какую-то волшебную формулу, и все проблемы разрешатся. Так не бывает. Чаще бывает наоборот.        

            Действительно, реальные процессы в природе сложны. Мало того, они до конца человеческому разуму не постижимы. В лучшем случае мы формируем в своём сознании некоторую модель, которая в какой-то мере может соответствовать физическому процессу. Для математического описания такую модель часто приходится настолько упрощать, что, даже если математический аппарат разработан безукоризненно, получаемые выводы могут совершенно не соответствовать действительности. Примером такого, на мой взгляд, недопустимого, упрощения является ограничения накладываемые на систему с ОС Найквистом.

                А иногда некоторые авторы просто занимаются математическим украшательством. В связи с этим уместно привести мнение по этому вопросу известного математика, академика Л. Понтрягина [67]: «В последнее время опасным становятся математические спекуляции в теоретической физике и технических науках. Дело доходит до того, что серьёзная работа в области техники может быть ошельмована на том основании, что в ней нет математических обоснований, хотя всем может быть ясна практическая пригодность исследований. Для математика обидно, что иногда её привлекают для бутафории., для того, чтобы спрятать бедность и немощность той или иной специальной работы .... Высокий уровень абстракции современной математики способен гипнотизировать тех, кто не является в ней специалистом, и, очевидно, порождает в их среде досужее мнение, неверное представление, особое почтение лишь к кабалистическим формулировкам и недоверие к ясности и простоте действительно научных утверждений.»

             Тем не менее я готов с благодарностью принять конструктивную критику, предложения и пожелания, которые конечно будут отражены в следующих изданиях книги, если таковые последуют.

                Материал, изложенный в книге, был готов лет десять назад. Но, в связи с известными событиями в стране, не удалось его в полном объёме реализовать как в практике измерительных работ, так и в публикациях. Тем не менее, апробация результатов теоретических исследований и ряда конструктивных решений была проведена при выполнении ряда работ в области испытаний авиатехники. Материалы теоретических исследований были доложены в ряде научных организаций, таких как ВВИА им. проф. Жуковского, на семинарах общества Попова и пр. Имеются публикации (к сожалению не очень доступные). Каких либо серьёзных замечаний научная общественность не высказывала.

            Вполне возможно, что кто-то из моих уважаемых коллег пришёл к результатам аналогичным изложенным в этой книге. Я не хотел бы ввязываться в дрязги связанные с приоритетом. Поэтому, если мне будут представлены соответствующие материалы, в последующих изданиях они будут включены в книгу, или на них будут сделаны соответствующие ссылки.

            Имеются ряд вопросов, которые не рассмотрены в книге. Например, вопросы, связанные со статистическим анализом измеряемых параметров и состава датчиков, вопросы стандартизации и унификации, перспективных конструкторско-технологических решений на базе современной схемотехники и системотехники и пр. Думаю, что было бы полезным в рамках творческого коллектива подготовить более объёмную книгу.

            Думаю, что в настоящее время можно поставить вопрос о создании базовой концепции построения ИИС с разработкой стандартизованных и унифицированных требований к интерфейсам (в частности интерфейсу связи с датчиками), программным оболочкам и пр. В этом случае, фирмы, выполнившие эту работу, имеют шанс выйти в лидеры не только в область ИИС, но и в области датчиков. То есть, создать себе условия аналогичные тем, которые обеспечили, скажем, успех фирме Microsoft. Тем более, что рынок для такой аппаратуры может быть очень широкий.

             Специалистам в области ИИС вряд ли нужно перечислять сферы применения теории и технических средств информационно-измерительной техники. Тем не менее, для тех, кто больше связан с организацией и управлением производством, вкратце подскажу некоторые из них:

- аэрокосмическая техника (штатное и испытательное оборудование);
- наземная мобильная техника (автомобили, железные дороги и пр., штатное и испытательное оборудование);
- надводные и подводные суда и корабли;
- метеорологические системы и системы мониторинга, в том числе космического;
- промышленные установки (ректификационные колонны, химические и биологические реакторы и пр.);
- энергетика (ядерные реакторы, котлы и т.д.)
- биотелеметрия и т.д.

            Во всех этих областях применения, методические и технические средства, разработанные с учётом изложенных в этой книге материалов, обеспечат высокую степень достоверности измерений, их метрологическую обоснованность, снижение затрат на разработку аппаратуры и её эксплуатацию, сокращение сроков испытаний и т.д. А следовательно и немалые материальные выгоды.

            Например, при проведении космического мониторинга, исходя из необходимой точности измерений, обосновывается количество и орбиты спутников Земли. Естественно, если это обоснование достаточно корректно, то количество спутников может быть оптимально. Если же не корректно, то число их может быть либо меньше необходимого (при этом снижается достоверность информации, а, следовательно, и её ценность и, конечно, стоимость). Либо больше, и тогда будут большими затраты на создание спутниковой системы. А что изготовление и запуск даже одного спутника стоит очень дорого, известно всем. И для того чтобы сэкономить эти средства нужно просто просчитать их необходимое число с помощью методик, основанных на изложенном в этой книге материале.

(Сайт "ЧРЕЗ ТЕРНИИ К ЗВЕЗДАМ".Григоренко А.М.)
Copyright©2001 feedback              

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Котельников В.А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи. - ВЭК,1933.
2. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963.
3. Темников Ф.Е., Афонин В.А.,Дмитриев В.И. Технические основы информационной техники. - М.: Энергия,1979.
4. Широков К.П., Довбета Л.И. О понятиях «измерительная система» и «измерительная информационная система». «Измерительная техника».№5,1980.
5. Корн Г. и Т. Справочник по математике. – М.: Наука,1977.
6. Чувыкин В.В. Способ оценки погрешности восстановления функций, представленными дискретными значениями. «Цифровая инф.изм. техника».– Пенза: №10,1980.
7. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. – М.: Физматгиз, 1961.
8. Березин И.С., Житков Н.П. Методика вычислений. Т.1,2. – М.: Физматгиз,1960.
9. Методический материал по применению ГОСТ 8.009-72.  ВНИИМС. – М.: Изд. Стандартов, 1975.
10. Новицкий П.В. Об особых свойствах 95% - ной квантили большого класса распределений и предпочтительных значениях доверительной вероятности при указании погрешностей приборов и измерений. Метрология, №2, 1979.
11. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Соврадио,1977.
12. Отнес Р., Эноксон А. Прикладной анализ временных рядов. – М.: Мир, 1982.
13. Браммер К., Зифменг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. – М.: Наука, 1982.
14. Горовец А.М. Синтез систем с обратной связью. – М.: Советское радио, 1970.
15. Waldhauer F.D. Feedback – cjnceptual or physical? Simp. on circuit theory. IEEE Cat ND73CH0765-8CT. Toronto. 1973. P8-12
16. Трохименко Я.К. Ошибки формальной теории усилителей с обратной связью. Изв.ВУЗов. Радиоэлектроника. 1973. Т.16.№2.
17. Основы автоматического управления. Под ред. В.С.Пугачёва.
18. Г.Боде. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. – М.: Изд. ин.лит.,1948.
19. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Ч.1. – М.Л.: Госэнергоиздат. 1962.
20. Шидловский А.К. Взаимность и обратимость в активных и многофазных электрических цепях. – Киев. 1969.
 21. Артым А.Д. Усилители с обратной связью, анализ и синтез. – Ленинград.: Энергия, 1969.
22. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука,1973.
23. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука,1975.
24. Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. – М.: Энергия,1969.
25. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. – М.: Сов.радио,1977.
26. European conference on circuit theory and design. London, 1974.
27. Бессонов Л.А. Линейные электрические цепи. – М.: Высшая школа, 1974.
28. Импульсные цепи на полупроводниковых приборах, проектирование и расчёт. Под ред. Гальперина Е.И. и Степаненко И.П. – М.: Сов.радио,1970.
29. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Сов. Радио,1963.
30. Техническая кибернетика. Под ред. Солодовникова В.В. – М.: Машиностроение,1967.
31. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. – М.: Энергия,1967.
32. Van Valkenburg M.E. Circuit theory: foundations and classical contributions. Strasbourg, 1974.
33. Касьяненко А.А. Частотные методы устойчивости автоматических систем управления. – Таганрог, 1977.
34. Whittaker J.N. On the function which are represented by expansions of the interpolation theory. Proc. Roy. Soc. Edinburg. Wol.35, 1915.
 35. Whittaker J.N. Interpolatory functions theory. Cambridge. Tract.33 in Mathematics and Mathematical Physics. Camb. №4, 1935.
36. Железнов Н.А. Исследование ортогональных разложений стохастических сигналов с пограничным спектром. Труды ЛКВВИА. Вып.191, 1957.
37. Хлистунов В.И. Основы цифровой электроизмерительной техники. – М.: Энергия, 1966.
38. Ицкович Э.Л. Определение необходимой частоты измерений при дискретном контроле. Автоматика и телемеханика. Том XXII, 1961.
39. Авербух Г.Ю., Каташков Э.С., Розов Ю.Л. Определение максимальной частоты опроса при аналого-дискретном преобразовании. Изм.техника.№3, 1973.
40. Турбович И.Т. К вопросу о применении теоремы Котельникова к функции времени с неограниченным спектром. Радиотехника №13, 1958.
41. Немировский М.С. Некоторые вопросы разложения функций в ряд по Котельникову и специфические искажения при использовании амплитудо-импульсной модуляции. Сборник трудов НИИ. Вып. 5(19), 1956.
42. Темников Ф.Е. Теория развёртывающих систем. – М.Л.: Госэнергоиздат, 1963.
43. Харкевич А.А. О теореме Котельникова. Радиотехника №8, 1958.
44. Харкевич А.А. Очерки общей теории связи. – М.: Гостехиздат, 1955.
45. Кавалеров Г.И., Мандельштамм С.М. Введение в информационную теорию измерений. – М.: Энергия, 1974.
46. Куппершмидт Я.А. Точность телеизмерений. – М.: Энергия, 1978.
47. Малов В.С., Куппершмидт Я.А. Телеизмерения. – М.6 Энергия, 1975.
48. Орнатский П.П. Теоретические основы информационной измерительной техники. – Киев. Выща школа, 1976.
49. Мановцев А.П. Основы радиотелеметрии. – М.: Энергия, 1973.
50. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. – М.Л. ОГИЗ Гостехтздат, 1848.
51. Воробьёв И.Н. Теория рядов. – М.: Наука,1971
52. Толстов Г.П. Ряды Фурье. – М.: Физматгиз,1965.
53. Кручкович Г.И. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Векторный анализ. – М.: Физматгиз, 1965.
54. Математические основы современной электроники. Под ред. Гуткина Л.С. – М.: Соврадио, 1968.
55. Никольс М.Х., Раух Л.А. Радиотелеметрия. – М.: Изд. иностр. лит., 1958.
56. Колмогоров А.Н. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве. Бюллетень ГГУ 2,6, 1941.
57. Френке А.В. Телеизмерения. – М.: Высшая школа,1975.
58.  Турбович И.Т. Метод близких систем. – М.: Изд. АН СССР, 1961.
59. Промышленная телемеханика. Под ред. Сотскова Б.С. и Малова В.С. – М.Л.: Энергия, 1966.
60. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории управления. – М.: Наука,1971.
61. Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М. Фейнмановские лекции по физике. – М.: Мир, 1977.
62. Ефимов А.В., Золотарёв Ю.Г., Терпигорова В.Н. Математический анализ (специальные разделы). Т.2. – М.: Высшая школа. 1980.
63. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны и вычислительная математика. – М.: Наука, 1976.
64. Остроградский М.В. Полное собрание трудов. – Киев: АН УССР, 1959.
65. Финк Л.М. Сигналы, помехи, ошибки …. – М.: Связь, 1978.
66. Андре Анго. Математика для электро и радиоинженеров. – М.6 Наука,1965.
67. Понтрягин Л. О математике и качестве её преподавания. Коммунист №14, 1980.

 

Поиск и навигация по сайту
           Е-Mail: ПодписатьсяОтказаться
Рейтинг@Mail.ru
Copyright©2001

                       ЧРЕЗ ТЕРНИИ К ЗВЕЗДАМ

 ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ