ГРИГОРЕНКО А.М.   

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
 ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

ВВЕДЕНИЕ

          Нет необходимости доказывать, что измерительная информация является одной из основных составляющих в процессе создания и использования современной техники, а также во множестве других областей человеческой деятельности. Действительно, любая более-менее сложная техника, имеет системы автоматического управления и контроля, а такие отрасли человеческой деятельности, как метеорология, метрология и пр. вообще только тем и заняты, что собирают и обрабатывают измерительную информацию. Наверное, без особого преувеличения, можно сказать, что измерительная информация является одной из основ современной цивилизации.

            Однако вряд ли можно сказать, что теоретические основания в области измерительной информации находятся в полном порядке и устраивают практиков. Предлагаемые благосклонному читателю результаты исследований могут оказаться вполне полезными, особенно при расчете потоков измерительной информации с учетом ее метрологической точности и достоверности как при создании и использовании измерительно-информационных систем (ИИС), так и систем автоматического контроля и управления с использованием ИИС. Ряд положений разработанных автором и изложенных в данной книжке апробированы на практике при испытаниях авиационной техники и получили положительную оценку у авторитетных специалистов.

            В книгу включены вопросы определения частот опроса изменяющихся во времени и пространстве параметров, системного анализа погрешностей ИИС с учетом погрешности дискретизации, борьбы с аномальными измерениями и некоторые другие вопросы. Кроме того, учитывая, что часто ИИС являются элементом систем автоматического управления, возникла задача уточнения и некоторых вопросов теории обратной связи как основы таких систем. Поскольку сама по себе теория измерительной информации, как и теория обратной связи, существуют давно, то возникла необходимость определенной критики имеющегося теоретического базиса. Кратко описаны некоторые примеры практической реализации предлагаемых теоретических положений.

            Автор надеется, что результаты этой работы окажутся не бесполезными, и будет благодарен за конструктивную критику.

            ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИИС

             Иформационно-измерительная система является сложным объектом техники имеющая ряд характеристик, основными из которых являются информационные и метрологические. Основные информационные характеристики следующие:

    - информационный поток от объекта на систему в целом и на ее отдельные элементы;
    - производительность элементов ИИС;
    - требуемые объемы запоминающих устройств элементов ИИС.

            Основными метрологическими характеристиками ИИС являются точность и достоверность измерений. Информационный поток от объекта зависит от его динамических характеристик и требований к точности измерений. В этом плане он не зависит от ИИС и является заданной величиной. Однако, как правило, этот поток является в значительной степени избыточным. Снижение избыточности может быть достигнуто:

    - адаптацией структуры ИИС к решению конкретных задач и, соответственно, изменением перечня подключаемых датчиков и других источников информации, их числа и частот их опроса;
    - обоснованием действительно необходимых норм точности;
    - обоснованием действительно необходимого числа замеров в единицу времени (частоты опроса).

            Что касается обоснования перечня и числа опрашиваемых датчиков, а также требуемых норм точности, то они определяются разработчиками ИИС, исходя из конкретных задач применительно к конкретному объекту, и обсуждение их в рамках настоящей работы не представляется необходимым.

            Здесь мы рассмотрим вопросы определения частот опроса. Вопрос этот не новый. Началом формирования теоретической базы определения частот опроса (или теории дискретизации) обычно считают работы Котельникова В.А.[1] и Шеннона [2]. Имеются и ряд других работ по этому вопросу. Однако их теоретический анализ и анализ их практического применения показывает, что эффекта от существующей теоретической базы практически нет никакого. Более подробно критика ее изложена в ПРИЛОЖЕНИИ 1. В связи с этим, до настоящего времени частота опросов определялась весьма приближенно и, как правило, интуитивно, на основании опыта специалистов и, в лучшем случае , экспериментально. При этом частота опросов становится существенно избыточной и может привести к таким требованиям к аппаратуре, что создание ИИС становится проблематичным или, по крайней мере, она становится существенно более громоздкой и дорогой. Занижение же частот опроса приводит к метрологической недостоверности результатов измерений. Далее будет рассмотрены вопросы определения частоты дискретизации. 

           ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ 

            1. Методы дискретизации и восстановления сигналов после дискретизации можно разделить на несколько групп в зависимости от принятых признаков классификации. Выбираются следующие признаки классификации[3]:

    - регулярность отсчетов;
    - критерий оценки точности дискретизации и восстановления;
    - базисные функции;
    - принцип приближения.

            В соответствии с признаками регулярности отсчетов можно выделить две основных группы методов: равномерную и неравномерную. Методы равномерной дискретизации нашли наиболее широкое применение. Это объясняется тем, что алгоритмы дискретизации и восстановления достаточно просты. Однако, из-за несоответствия априорных характеристик измеряемого параметра характеристикам модели обработки, возможна значительная избыточность отсчетов. Из методов неравномерной дискретизации известны две группы - адаптивные и программируемые.

            Адаптивные методы позволяют уменьшить избыточность информации, однако реализация их связана с рядом трудностей, а именно:
    - сложность алгоритмов;
    - необходимость предсказания;
    - в целом канал должен быть рассчитан на максимальный поток информации, что снижает преимущества этого метода.

            Вследствие этих и других недостатков метод адаптивной дискретизации не нашел широкого применения и в дальнейшем рассматриваться не будет.

            При программных методах дискретизации изменение частоты опроса производится в соответствии с заранее составленной программой измерений.В пределах данного этапа измерений он сводится к равномерной дискретизации.

            2. Из критериев оценки точности известны максимальный, среднеквадратичный, интегральный и вероятностно-зональный [ 3 ].

            Наиболее широко используется вероятностно-зональный критерий, определяемый соотношением:
          Р{
e ( t ) < D} = Po        ( 2. 1 ),  
где Ро - допустимая вероятность того, что погрешность не превысит значения
D. Обычно считают Ро заданной и в соответствии с [ 4 ] ее можно принять 0.05. В этих условиях задаются величины только D, которые в практических случаях выражаются , как правило, приведенными к максимальной величине диапазона измерения в процентах.

            3. Задача дискретизации неразрывно связана с задачей восстановления функции. При этом решетчатой функции, представленной выборками, необходимо поставить в соответствие непрерывную функцию которая отличалась бы от исходной функции на величину не превышающую заданную погрешность то есть:
       ï
x (t) – V (t) ê £ D       ( 2.2. )

           Функция V(t) - воспроизводящая функция. В качестве воспроизводящих функций могут применяться ортогональные ряды (Ряды Фурье, Котельникова и т.д.), степенные полиномы и т.п. При обработке на ЭВМ наибольшее распространение получили степенные ряды, благодаря достаточно простым алгоритмам их реализации. Восстанавливающие функции названы базисными, поскольку от выбора этих функций в значительной мере зависит метод обоснования характеристик дискретизации и восстановления информации.

            4. По принципу приближения выделены три группы методов:

    - интерполяционные;
    - экстраполяционные;
    - комбинированные.

            Преимущество интерполяционных методов является их более высокая точность, но они вносят задержку на период дискретизации, поэтому появляется дополнительная динамическая погрешностью Экстраполяционные методы применяются в том случае, если ИИС входит в замкнутый контур управления объектом, когда временные задержки недопустимы. Но они требуют большую частоту отсчетов и, следовательно, большего потока информации. В условиях конкретных задач могут применяться комбинированные методы.

            Таким образом, далее под дискретизацией будет пониматься, прежде всего, программно-адаптивная (равномерная) дискретизация. Критерием точности принимается вероятностно-зональный критерий. Будет определен выбор базисной функции и рассмотрены вопросы как интерполяции, так и экстраполяции.

            5. Измеряемые параметры зависящие от времени можно отнести к аналитическим функциям. Они ограничены по величине, имеют, как правило, экстремумы, не имеют разрывов ни первого, ни второго рода ни у самой функции, ни у ее производных. Необходимо отметить, что некоторые параметры могут иметь настолько быстрые изменения, что могут приниматься за разрывы первого рода. Однако это является исключением из общего правила и может в отдельных случаях соответствующим образом учитываться.

            6. Поскольку речь идет о частоте дискретизации, то, очевидно, что в первую очередь должен быть поставлен вопрос о динамичности функции.

            Динамичность функции может быть выражена при помощи следующих характеристик:

- автокорреляционных функций;
- частотного спектра;
- величин максимальных производных функции.

            Чаще всего ИИС проектируется для объектов с параметрами, динамические характеристики которых точно неизвестны. Например, ИИС для испытаний мобильной техники (в частности летательных аппаратов) могут применяться для различных типов техники и различных этапов испытаний. В связи с этим определить стохастические или спектральные характеристики измеряемых параметров не представляется возможным, поскольку они могут быть определены в процессе испытаний, то есть тогда, когда ИИС уже изготовлена. Кроме того, реальные измеряемые параметры можно отнести к не стационарным процессам, априорная неопределенность которых делает невозможным получение представительной выборки. В связи с чем, применение стохастических методов вообще и автокорреляционного анализа в частности не представляется возможным. Поскольку автокорреляционная функция сопряжена со спектральной плотностью по формуле Винера-Хинчина, то же можно сказать и о спектральном анализе. Исходя из этого, предпочтительным является использование в качестве характеристик динамичности величин максимальных производных. Анализ практики реальных измерений показывает, что измеряемые параметры имеют как минимум до второй производной максимальные величины которых несложно получить расчетным, экспериментальным или иным путем. И даже интуитивные предположения об их величине сделанные специалистом в данной области достаточно достоверны.

            Такой подход имеет то преимущество, что динамика процесса выражается через достаточно наглядные характеристики. Эти характеристики имеют определенное техническое содержание. Например, при измерении высоты первая производная это не что иное, как скороподъемность, а вторая производная - вертикальная перегрузка. Таким образом, зная максимально допустимую вертикальную перегрузку можно определить частоту опроса датчика высоты.

            7. Поскольку применение стохастических методов не представляется возможным, то должен быть применен математический аппарат, построенный на применении детерминированных функций. Однако измеряемые параметры являются априорно неопределенными, а, следовательно, случайными. Выход здесь один, привести априорно не известную, случайную функцию к априорно известной функции отвечающей тому требованию, чтобы их динамические характеристики были одинаковы. Очевидно, что при этом и частота опроса у них будет одинакова.

            Требования к такой функции следующие:

    - во-первых, она должна максимально соответствовать характерным особенностям реальных параметров;
   
- во-вторых, иметь достаточно простое выражение.

            Как известно, любая аналитическая функция может быть разложена в ряд Фурье. Поэтому синусоида является достаточно удобной функцией для сопоставления с аналитической функцией отображающей измеряемый параметр. В практическом плане немаловажно и то, что некоторые параметры достаточно близки к синусоиде. Например, колебания элементов конструкции летательного аппарата.

Рис.1
            Идея метода заключается в следующем [Рис.1]. В момент времени t0соответствующий локальному экстремуму функции f(t), в котором |f"(t)| максимальна, функция f(t) аппроксимируется синусоидой F(t). При этом, |F"(t)|max=|f"(t)|max. Поскольку момент времени t0, вообще говоря, не определен, то предполагается, что, в условиях измерения данного параметра, возможно такое событие, при котором в некоторый момент времени t0 вторая производная достигнет своего максимума. Причём из условий измерения параметра она не может выть больше этого максимума, т.е.:
 {| f "(t)|}
 £ |f"(t)max|.

           Момент времени t0 удобно принять в качестве  t = 0 , при этом F(t) = max . То есть, F(t) есть ни что иное как косинусоида. При стремлении окрестности t0 к нулю, | F(t) - f(t) | ® 0 . Следовательно, в окрестности t0 F(t) является аппроксимирующей функцией. В связи с этим, метод назван методом аппроксимирующей косинусоиды.

            Амплитуда косинусоиды, при заданной | F"(t) |max, однозначно связана с частотой и может быть любой величины, в том числе и равной диапазону погрешности измерения данного параметра. В свою очередь, имея частоту косинусоиды можно определить частоту ее опросов, из условия 100% погрешности возможного искажения этой косинусоиды в связи со стробоскопическим эффектом, который будет рассмотрен ниже. В дальнейшем можно будет привести полученные формулы к виду удобному для практического использования.

            8. Итак  F(t) =cos(wt + j). Так как t0 принимается за начало отсчета и при этом F(t) максимально, то j=0. Тогда F(t) = coswt.

Учитывая что   | f" (t) max | = | F" (t)max | и F"(t)=w2 coswt то |f"(t)max | = w2 coswt.

В точке t =0    | F"(t) | максимален, при этом |F"(t)max| = w2 .
Отсюда:
w2 = |f"(t)max| , следовательно: w=Ö | f"(t)max | .
Тогда формула аппроксимирующей синусоиды примет вид: F(t)=cos((
Ö |f"(t)max|) ´ t) .

Как указывалось выше, амплитуда косинусоиды неопределенна. Полагается, что она равна погрешности дискретизации параметра - Dд, тогда:
 F(t) =
Dд ´ coswt ; F"(t)max = Dд ´ w2 = | f"(t)max | .
Отсюда:
   ____________ 
        w = Ö( | f"(t)max | ) / Dд  .

Тогда в окончательном виде формула аппрксимирующей косинусоиды примет вид:            
                            ___________
F(t)=Dд ´ cos{[Ö(|f"(t)|max)/Dд ] ´ t } .                          (2.3)

            Чтобы связать полученную аппроксимирующую косинусоиду частотой отсчетов необходимо применит понятие стробоскопического эффекта. Более подробно вопросы, связанные со стробоскопическим эффектом, рассмотрены в ПРИЛОЖЕНИИ 2. Здесь отметим, что при выполнении равномерных отсчётов с синусоиды, в случае если частота отсчетов равна удвоенной частоте синусоиды, за счет фазовой неопределенности отсчёты могут случайно попадать на любые ее значения, включая как экстремумы, так и нули. В связи с этим, при этом возникает 100% погрешность в отображении синусоиды. Учитывая, что амплитуда апроксимирующей косинусоиды равна допустимой погрешности измерения параметра, то частота отсчетов равная удвоенной частоте аппроксимирующей косинусоиды как раз и будет искомой частотой опроса измеряемого параметра, или fд = 2wа.к./2p = wа.к/p .

Или:             ___________ 
      fд = 1/| f"(t)max | /Dд .                                           (2.4)   

Таким образом, формула определения частоты дискретизации получена. Теперь необходимо привести ее к виду удобному в практическом использовании.

            9. Обычно принято выражать погрешность в виде приведенной погрешности к максимальной величине диапазона измерений в процентах.
Отсюда:    _____________               _____________  
   fд=10/| f"(t)max | /(Dд´A) » 3Ö| f"(t)max | /(Dд´A) ,     (2.5)  где fд - частота дискретизации, Dд - приведенная погрешность дискретизации в процентах, A - диапазон измерения.

            Эта формула уже пригодна к использованию. Действительно, если известно, например, что высота полета самолета в диапазоне 0 - 10000 м, допустимая погрешность дискретизации - 0.5% и при максимально допустимой перегрузке по вертикальной оси самолета - до 5g, то учитывая, что f"(t)max = (Ng - 1) х 9.8 , получим:
            __________________
fд = 3
Ö[(5-1) × 9.8]/(0.5 × 10000) » 0.3гц.

                10. В ряде практически важных случаев желательно графическое представление второй производной. Известно [5], что:

                   _______     
 k = f"(t)/(Ö1+[f'(t)]2)3,где k - кривизна функции f(t).

             В точке экстремума f'(t) = 0, следовательно k = f"(t). Так как k = 1/r, где r - радиус кривизны, то
              ___________

fд = 3 /Örmin ´Dд ´ А .                                        (2.6) 

Это второй вариант формулы (2.4).

                11. В отдельных случаях получить вторую производную затруднительно, а в других случаях радиус кривизны меньше допустимой погрешности. В этих случаях удобнее использовать первую производную функции для определения частоты опросов.

 
Рис.2

         Действительно (Рис.2), если считать r ® 0, в точке t = t0 и масштаб времени выбран таким образом, что угол касательных к аппроксимирующей косинусоиде в точках ее максимальных первых производных (точках перегиба) - a = p/4 , то окрестности точки максимальной кривизны будут представлять излом функции с углом p/2. Диапазон от точки излома до линии (a,b) выбирается равным погрешности дискретизации - Dд, в котором поведение функции может быть любым. В том числе, она может быть и косинусоидой с таким периодом, что в точках a и b она имеет своими касательными линии максимальной крутизны.

            Радиус кривизны косинусоиды в точке t0 равен r = (2/p)Dд. Если подставить в формулу (2.4 ) полученную величину r = |f"(t)max|, то
                        ___________
fд = (1/p)´1/ÖDд´(2/p)´Dд , а также учитывая, что величину погрешности Dд надо также умножить на величину 2/p ,
                               _______
то: fд = (1/
p)´ 1/ÖD2 ( 4/p2) = 1/2D.                             (2.7)                  

            Эту формулу можно получить и проще. Действительно, интервал t1- t2 равен двум полуинтервалам (t1 – t0) и ( t0 - t2) каждый из которых равен Dд. Отсюда t2 - t1 = 2Dд и, в свою очередь, fд=1/2D. Но было бы желательно делать вывод из общих позиций. Последний же вывод лишний раз показывает правильность описанного метода.

                Далее, учитывая понятие приведенной погрешности, получим: fд = 50/DдA. Учитывая, что масштаб времени t выбран специально для вывода формулы (2.7), и то, что частота опросов меняется линейно с изменением масштаба времени, а также то, что Dx/Dt = tg x, можно написать: fд = 50tg(amax) / DдA, или fд = 50f'(t)max / DдA. (2.8) Полученные формулы эффективны при r £ D, в случае r > D эти формулы дадут завышенное значение fд. Можно меняя масштаб времени t, обеспечить выполнение условия r £ D, при этом формула (2.8) приобретет вид:
 fд = М50tg
amax / DдA , где М - масштаб времени.
            Вполне резонно можно поставить вопрос о точности косинусоидальной аппроксимации. Этот вопрос рассмотрен в ПРИЛОЖЕНИИ 3.

            12. В заключение раздела приведем совокупность полученных формул:

              fд = (1/p)fс arc cos(1 - Dд).                    (2.9) 

            Эта формула получается решением формулы (П2.1), где N = fд/fс, а fс частота колебаний синусоидальной функции f(t). При приведенной погрешности она имеет вид:
  fд = (f /p)arc cos(1-Dд/100). Эта формула может применяться к параметрам имеющим явно выраженный колебательный характер. Например, колебания элементов конструкции летательного аппарата.
                                         ___________
            Формула fд = 3
Ö |f"(t)max| / DдA         (2.10)    применяется к параметрам, получение величины максимальной второй производной в отношении которых не представляет больших затруднений.
             
                            _____
            Формула fд = 3/ÖrDдA ,                        (2.11)     применяется тогда, когда возможно геометрическое построение зависимости параметра от времени. В частности, тогда, когда имеется хотя бы одна реализация параметра в его наиболее динамичном виде, ( например записи опробования двигателя ).Кроме того, эта формула может применяться при расчете количества точек замера по пространственной координате, например количество тензодатчиков по размаху крыла, При этом строится эпюра механических напряжений и по ее кривизне определяется интервал между датчиками.

            Формула fд = 50tg amax / DдA             (2.12)     применяется в отношении параметров имеющих r < Dд, и графическое представление которых достаточно просто. Например, отклонение органов управления летательного аппарата, которое может регистрироваться на земле. Эта формула может также применяться в случае r > Dд. В этом случае применяется коэффициент М по шкале времени и формула приобретает вид: f=M50tgamax/DA .

            Формула fд = 50f'(t)max / DдA             (2.13)     применяется в отношении параметров, для которых более предпочтительным является использование первой производной. Например, скорости. Однако нужно иметь в виду, что данная формула может дать завышенное значение частоты опросов.

            В том случае, если заранее известно, что зависимость параметра от времени является очень близкой к квадратичной, формула (2.9) даст погрешность в 1,5 раза больше. В большинстве случаев (см. ниже) учитывая, что погрешность дискретизации определяется по критерию ничтожной погрешности по отношению к погрешности измерения параметра, этим можно пренебречь. В отдельных случаях может быть применена несколько видоизмененная формула из [6]:                 
                           ______________
            fд = 3,5Ö|f"(t)max| / DдA .

            Описанный метод имеет ряд свойств с точки зрения восстановления сигнала (интерполяции) и его стохастических характеристик. В следующей главе рассматриваются эти свойства.   

            ГЛАВА 3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ

             Задача интерполяции и экстраполяции неразрывно связана с задачей дискретизации. Интерполяция в явном или неявном виде производится всегда. В явном виде интерполяция производится в тех случаях, когда параметры необходимые для расчета какой либо характеристики измеряются с разной частотой, а характеристика вычисляется с частотой большей, чем частота опросе всех или некоторой части параметров. Кроме того, интерполяция производится в ряде случаев при графическом представлении параметров или характеристик. При этом интерполяция производится программно или аппаратно. В неявном виде интерполяция производится в том случае, если информация регистрируется в табличном виде и интерполяцию производят сознательно или бессознательно производя оценку значений функции между замерами.

            Проблема интерполяции давно привлекала математическую мысль. История этого вопроса, его анализ и критика рассмотрены в ПРИЛОЖЕНИИ 4. В целом, известные методы интерполяции можно разделить на три основных группы:

    - методы с применением степенных рядов;
    - методы с применением ортогональных функций;
    - методы стохастического анализа.

            Их анализ (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 4) показывает, что в отношении дискретизации достаточно удобных методов дискретизации нет, что вынуждает нас попытаться решить эту проблему самостоятельно. Ниже описана методика интерполяции вытекающая из метода косинусоидальной аппроксимации.

            1. Имеются два очередных замера параметра в моменты времени t1 и t2. (Рис.3 ). Поскольку интервал t2 – t1 определяется на основе косинусоидальной аппроксимации, то известно, что функция параметра ограничена полупериодами косинусоиды. Так как величина второй производной в формуле (2.3) берется в виде модуля, то полупериод косинусоиды имеет или положительный, или отрицательный знак. Очевидно, что область между косинусоидами есть область вероятного нахождения реального значения параметра.

Рис.3
            Распределение вероятности значения параметра в этом интервале симметрично по отношению линии (а – b). Поэтому линия (а - b) является геометрическим местом точек математического ожидания значений параметра. Вполне естественно, что интерполирующая линия должна совпадать с линией (а – b), то есть интерполяция должна быть кусочно-линейной и иметь вид:
f(t) = a + bt, где a = f( ti );

b определяется следующим образом :

f(t) = f(ti )+bt ; f (ti+1) = f(ti) + bti+1 ; b = [f(ti+1) - f(ti)]/ti+1 . Таким образом, расчетная формула для определения текущего значения f (t) между точками замеров ti и ti+1 определяется уравнением: f(t) = f(ti) + {[f(ti+1) - f(ti)] / ti+1}t,где ti+1  определяется от начала отсчета, которым принято ti , то есть ti+1  = Т, где Т интервал дискретизации.
Отсюда f(t) = f(ti) + {[f(ti+1) - f(ti)] /T}t.

                Преимуществом линейной интерполяции является простота и удобство ее реализации на ЭВМ. Знаменательно, что, несмотря на неоднократные попытки применения более сложных методов интерполяции, на практике в основном применяют линейную интерполяцию.

            2. А теперь рассмотрим вопрос в несколько большей общности. Если положить, что в некоторый момент ti произведен отсчет и получено точное значение параметра f (ti) , то до следующего отсчета можно ввести одно условие, что измеряемый параметр не изменится больше , чем на величину заданной погрешности D. Действительно, никакая физическая величина не может изменить свое значение мгновенно. Изменение параметра на D сопряжено с некоторым Dt. Причем, интервал между отсчетами Т должен быть равным Dt, поскольку при условии Т>Dt увеличится погрешность выше допустимой, а при T<Dt замеры ti+1 и ti становятся коррелированы а, следовательно, информационно избыточны. При Т= Dt отсчеты становятся не коррелированы. Неопределенность величины f(t) к точке ti+1 пределами ±D. То есть можно сказать, что при Т = Dt, отсчеты в пределах ±D становятся цепью Маркова, или, в более общем понимании, мартингалом. Естественно, что знание значений f(t) в прошлом ничего не может дать в определении f(t) на интервале Т. 
            Отсюда становится ясным, что применение любых видов интерполяции степенными полиномами выше первой степени ( то есть, использующих величины f ( ti - n), где n = 1,2, . . .), является бессмысленным. В этом и суть появляющихся ошибок при полиномиальной интерполяции с увеличением степени полинома [7].

            В данном случае считалось, что значение f(ti+1) неизвестно, то есть решалась задача экстраполяции. Если же известно f(ti+1), то ясно, что f(t) должна из известного f(ti) перейти к известному значению f(ti+1). Она может произвести этот переход равновероятно отклоняясь от прямой линии соединяющей эти точки, что определяет симметричность распределения вероятности относительно линии f(ti) - f(ti+1) , а, следовательно и выбор этой линии как интерполирующей. При этом максимальное отклонение этой линии при условии ограничения функции по второй производной и аналитичности функции будет ограничено полупериодами косинусоиды. Следовательно, рассматривая f(ti) как цепь Маркова, при Т > ti+1 - ti можно сделать вывод об оптимальности линейной интерполяции.

            3. Можно привести и следующие рассуждения. Исходя из того, что аппроксимирующая косинусоида может быть одной из реализаций исследуемого параметра при его максимальной, при заданных условиях, динамичности, можно получить автокорреляционную функцию этого параметра R(t), которая, как известно, будет иметь вид синусоиды. Очевидно, что значение R(t) = 0 ограничивает область, в которой значения параметра стохастически, а следовательно и информационно связаны. Поскольку период R(t) равен периоду F(t), можно сделать вывод , что вне интервала Т любые отсчеты не могут дать дополнительной информации о параметре, а следовательно их использование в целях интерполяции на интервале Т бессмысленно.

            4. Экстраполяция часто применяется в ИИС, особенно тогда, когда обработка информации производится в реальном масштабе времени, и в частности, когда ИИС включена в контур управления объектом. Задача экстраполяции представляет по существу задачу предсказания [8]. Поскольку для определения частоты дискретизации выбирается критерий максимальной кривизны, то есть максимальной второй производной, то можно полагать, что на интервале от ti до ti+1  ( см. Рис.4 ) вторая производная будет постоянной и максимальной, то есть |f"(t)max |  = const.

Рис.4
                В этом случае f(t) будет представлять собой параболу f(t) = (at)2 .  При f(t) = 1   (D принимается за 0 ), t=p/2.  Отсюда: (ap/2)2=1. Тогда: a2p2=4 ; a=2/p; следовательно f(t)=(2t/p)2. При f(t)=2, t=p/Ö2 , p/Ö2-p/2»p´0,208. Поскольку полупериод косинусоиды (он же интервал отсчетов) равен p, то отношение p/0,208»4,8 дает отношение требуемой частоты дискретизации при экстраполяции по отношению к частоте дискретизации при интерполяции. Таким образом, частота экстраполяции должна быть выше частоты интерполяции почти в пять раз. С другой стороны, функция f(t) может быть после точки p/2 и синусоидальной.

            По существу это две крайние возможности. В условиях неопределенности имеет смысл выбрать нечто среднее, а именно линию касательную к синусоиде в точке p / 2. Таким образом, мы можем получить точку b, которая делит интервал дискретизации в p раз. То есть частота экстраполяции будет примерно в три раза больше частоты интерполяции.
Рис.5

В том случае, когда частота опроса определяется по максимальной первой производной (Рис.5),  f(t) может от точки d перемещаться или к точке b, или к точке а. Очевидно, что чтобы параметр не вышел за пределы допуска D необходимо и достаточно уменьшить величину интервала вдвое, то есть увеличить частоту дискретизации вдвое. Таким образом, для случая экстраполяции нужно формулы (2.9,2.10,2.11) умножить на 3, а формулы (2.12,2.13) на 2.

 

                    ПРОДОЛЖЕНИЕ

Поиск и навигация по сайту
           Е-Mail: ПодписатьсяОтказаться
Рейтинг@Mail.ru
Copyright©2001

                       ЧРЕЗ ТЕРНИИ К ЗВЕЗДАМ

 ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ