ГЛАВА 4. ПРОДОЛЖЕНИЕ. ФИЛЬТРАЦИЯ 

                Всё вышеизложенное касается случая, кода параметр без шумов. Если он имеет шумовую помеху, то необходима фильтрация. Очевидно, что аномальные измерения должна быть убраны до фильтрации, иначе они могут быть сглажены до такой степени, что уже не будут иметь вид аномального измерения, но искажение в информацию внесут недопустимое.

                Во всём этом вопросе остается одна неясность. Если число аномальных измерений в пакете велико, то при их восстановлении методом интерполяции действительные значения параметра на интерполирующем отрезке могут быть весьма большими и значительно больше погрешности дискретизации. Вполне естественно, что их использование может быть вообще нецелесообразным. Поэтому тут могут быть три решения:

            - аномальные измерения вообще отбрасывать без восстановления;
            - допускать восстановление аномальных измерений методом линейной интерполяции в ограниченном числе;
            - допускать восстановление неограниченного числа аномальных измерений.  

            Нетрудно заметить, что описанный алгоритм обладает и фильтрующим свойством. Действительно, положим, что имеется параметр, искаженный шумом большой амплитуды (Рис.30). Имеем критерий - Dд. Причем, если данное измерение выходит за пределы Dд, заменяем его значением: ai+1 =ai+D. Восстановленные точки будут иметь вид (точки - 2 на Рис.30). Очевидно, что шум резко уменьшается. Если имеется избыточность частоты опроса, то можно применить фильтрацию описанную выше. Вновь полученные точки - (3). Из рисунка наглядно видно, что параметр отфильтрован. При этом убираются и одиночные аномальные измерения (точка - 4). Преимущества данного метода заключаются в том, что как фильтрация, так и удаление аномальных измерений производится в одном алгоритме. Недостаток здесь тот, что в случае пачки аномальных измерений или разрыва функции этот алгоритм становится менее эффективным. Действительно, этот алгоритм не что иное, как следящее устройство, которое обладает инерционностью. Отслеживая точку аномальных измерений, он отклоняется от истинного значения параметра. После окончания пачки фильтр довольно медленно возвращается к математическому ожиданию параметра (Рис.31). В результате получается большая ошибка в низкочастотной области, которую никак устранить не удаётся. Выход, наверное, состоит в том, что на случай аномальных измерений, число которых больше m (например - 3) фильтр выключается до их исчезновения.

                Таким образом, в целом алгоритм фильтрации и удаления аномальных измерений может выполняться как одно целое в виде отдельных блоков, комбинация которых и выбор критериев могут быть различными. Поскольку переработка алгоритма для каждого случая весьма трудоёмка, то имеет смысл в начале алгоритма иметь слово описывающее состояние его. В этом случае могут быть идентификаторы, определяющие наличие тех, или иных критериев, Эти слова могут храниться в самой программе и вызов их может определяться идентификаторами параметра.

                3. Аналогично пакету аномальных измерений может возникнуть и последовательность однополярной выборки шумовой помехи. Очевидно, что при действии вышеописанного фильтра действие однополярных выборок порождает тот же эффект, что и аномальные измерения (Рис.31). Здесь появляется возможность ошибки, которая по динамическим характеристикам подобна измеряемому параметру и поэтому в дальнейшем неустранима.

                Понятно, что узкополосный шум, находящийся близко к области частот измеряемого параметра, будет порождать знакопериодическую последовательность опросов (Рис.32). При этом эффективность фильтра можно увеличить, уменьшая D фильтра, но не до такой степени, что бы это повлияло на точность восстановления параметра. При этом следует, что кратность однополярных выборок пропорциональна отношению fф/fд. Например, при fф/fд = 4, мы можем иметь по 4 однополярной выборки. При этом фильтрация усреднения и фильтрация следящего алгоритма независимы, что позволяет резко повысить эффективность фильтрации, при котором амплитуда шума в принципе ограничена. Но с ростом амплитуды шума возрастает и амплитуда его высокочастотных составляющих, следовательно, и вероятность пакетов однополярных выборок, а, следовательно, и ошибки измерения. Но при этом эффективность фильтра очень высокая.

            При наличии помех большой амплитуды и частоты, вероятность нахождения выборок в зоне D мала и может не учитываться. В этом случае, каждая выборка будет иметь значения или +D, или -D. Такая модель позволяет считать отдельные выборки независимыми. Модель такого случая может быть представлена в виде бросания монеты. Построим такую реализацию (Табл.1), Таблица построена в два сеанса опытов по 100 бросков. Определим распределение кратности (Рис.33) на 200 бросков. Поскольку речь идет об однополярных измерениях, то две ветви Рис.33 можно усреднить, считая их за 400 бросков. 

Табл.1                             Рис.33                                           Рис.34
            Вероятность появления пачки измерений определяются совместно с вероятностью событий имеющих вероятность 0,5. Поэтому: Р = (0,5)n. Соответственно: Р1 = 1/2, Р2  = 1/4, Р3 =1/8, Р4  = 1/16, Р5 = 1/32, Р6 = 1/64, Р7 = 1/128, Р8 = 1/256. Такая идеальная кривая показана на Рис. 34. Отсюда, вероятность пакетов однополярных выборок позволяет определить вероятность ошибки. Определим ее на квантиле 0,95: Функция f(P) =1/2n, P[x<0,95] = ?

òf(P)dP = ò(1/2n) | при n ® ¥ | = 1.

Имеем:  

(1/2n) dn =  2-ndn =  e-n ln2dn   = -1/ln2 + 2-n/ln2;

при n®¥ ,     ò0  = 1/(-ln2), но при этом Р = 1, отсюда 0,95 Û 0,95 × 1/ln2.
            Следовательно: 1/ln2 - 2-n/ln2 = 0,95 /ln2 или 2-n = 1 - 0,95 = 0,05,то есть 2n = 20.
Отсюда n = 4,3 » 4. Таким образом, число в пакете превышающее 4 нас могут не интересовать, так как вероятность такого события достаточно мала. Описанный выше подход базируется на некоторой идеализации. В реальной ситуации шумы часто имеют периодический характер. Это приводит к тому, что распределение Рис.34 несколько искажается. Причем это приводит к тому, что возрастает вероятность отсчетов меньшей кратности.  

            Далее, мы рассмотрели процесс фильтрации с D равной длине шага в относительных величинах. Теперь необходимо учесть, что частоты опросов берутся выше fд в 4 раза. При этом погрешность дискретизации уменьшается в квадрате, то есть в 16 раз, поэтому D следующего фильтра может быть в 16 раз меньше. Благодаря этому длина пакета может быть в 16 раз больше. Это позволяет здесь возможностями кратных помех пренебречь до 16×4 = 64 на интервал дискретизации. Но при этом необходимо учитывать то, что погрешность дискретизации с увеличением интервала дискретизации увеличивается квадратично, а погрешность фильтра линейно. Поэтому, сохраняя D фильтра постоянной необходимо брать её в N раз меньше погрешности дискретизации, где N = fф/ fд . Поэтому при длине пакета равном N, погрешность не превысит погрешности дискретизации. В частности, при N = 4, вероятность пакетов пренебрежимо мала. Кроме того, дальнейшая фильтрация, а также свойство подавления помех при дискретизации делают фильтр в целом достаточно эффективным.

            4. Характеристики фильтра можно улучшить. Действительно, пакет однополярных выборок, чем длиннее, тем менее вероятен. Очевидно, что чем длиннее пакет, тем более становится вероятным появление выборки другой полярности. Обычно считается, что каждая из независимых выборок вероятность имеет независимую. Это верно при том условии, когда значениями предыдущих выборок мы пренебрегаем. Но коль скоро мы имеем возможность запоминать и анализировать предыдущие выборки, то у нас и имеется возможность предполагать значения последующих. Для иллюстрации этого не столь известного явления, промоделируем игру, используя Таблицу 2.
Табл.2
            Суть игры в следующем. Предположим, что мы бросаем монету. Если полагать, что появление решки (0) и орла (1) равновероятно, то есть смысл считать выигрышем “1” а проигрышем “0” , выразив это функцией U = (±1). При этом вводим некоторое число ставку “С” . В случае выигрыша, количественно он выражается произведением U×C. Причем рассмотрим две стратегии.
            - Первая - поскольку U равновероятно, то можно ввести ставку в виде постоянного числа и ее не менять - например, U = 1;    
            - Вторая - вероятность данной выборки зависит от предыдущей, причем после, например U = +1 должно выпасть U = - 1 , поэтому ставка по знаку обратная предыдущему значению U . Мало того, чем длиннее пакет однозначных выборок U , тем больше ставка ожидаемой выборки. Количественно мы её определяем по формуле С = 2(n - 1) , где n - длина предыдущего пакета. Игру будем считать законченной при выполнении заранее заданного числа опытов, например - 50. Чем больше, тем лучше, но уже при N = 10 тенденция начинает вполне просматриваться. Закончив игру, сравниваем результаты обеих стратегий. Выигрывает та стратегия, у которой сумма выигрыша будет больше. Количественно результат определяется как разность выигрышей.

            Итак, проведя 50 бросков монеты, заполним таблицу (Табл.2). В результате получено следующее:
            Выигрыш первой стратегии - В1 = 6;
            Выигрыш второй стратегии - В2 = 24.
            Общий выигрыш второй стратегии - 18 очков.
Изобразим процесс графически (рис.35). Что касается первой стратегии, то понятно, что общая сумма должна лишь колебаться возле нуля, поскольку число выборок обеих знаков, с увеличением N, должно стремиться к тому, что бы быть одинаковым. В этом и смысл того, что вероятности событий в данном опыте равновероятны и равны 1/2 . Что касается второй стратегии, то на рисунке видно, что имеется тенденция к росту выигрыша. Причём темп этого роста равен N/ В2 и при росте N до бесконечности, стремится к 2 . Отсюда выигрыш стремится к Р×N, или в данном случае - N/2.

Рис.35
 Суть вопроса состоит в том, что в теории вероятности считается, что события следующие друг за другом во времени несовместны. То есть, сколько бы мы не бросали монету, перед очередным броском мы полагаем, что вероятность того, что выпадет орёл, равна 0,5. И это правильно. Но с другой стороны, если мы обладаем памятью и последовательно бросая монеты запоминаем результат, то становится, вообще говоря, все равно, бросили ли мы сразу десять монет, последовательно каждую из монет или десять раз одну и туже монету. Результаты будут почти одинаковы, а при стремлении числа опытов к бесконечности, разность в результатах будет стремиться к нулю.

            Исходя из этого, если мы бросали монету и у нас десять раз подряд выпадет решка, то нас это начнёт удивлять, и мы подумаем, что пора, наверное, выпасть и орлу. И если уж ставить ставки, то любой нормальный человек поставит на орла. Конечно, можно и проиграть, но вероятность этого небольшая. Она равна 1/11. А вероятность выигрыша - 10/11. То есть мы полагаем, что в очередном броске вероятность выпадения решки равна 1/11, а выпадения орла - 10/11. И это противоречие с понятием классической теории вероятности объясняется только тем, что своей памятью мы объединяем прошлые опыты-броски в один эксперимент и несовместные события становятся при этих условиях совместными.

            Мы также можем разработать алгоритм, который, запоминая предыдущие аномальные отсчеты, сможет более быстро после окончания пакета аномальных измерений перейти к нормальным.  Для этого мы можем ввести условие, что измерение признаётся нормальным, если его значение попадает в области допустимой погрешности, которая определяется по формуле D×2(n-1) где n равно числу предыдущих аномальных измерений в пачке. Характер процесса показан на Рис.36.

Рис.36
              Следящий фильтр под действием пакета однополярной ошибки накапливает ошибку, отслеживая аномальные измерения. Когда пачка оканчивается, он возвращается к нормальным измерениям (зона Х). Если же погрешность следящего фильтра увеличивается, то при окончании пачки аномальных измерений ограниченный по динамичности измеряемый параметр окажется в зоне допустимых значений и захватывается следящим фильтром. При этом энергия помехи от аномальных измерений существенно уменьшается и делает погрешность от воздействия аномальных измерений более приемлемой.

            5. Таким образом, нами рассмотрена совокупность методов борьбы с помехами различной природы. Эти методы могу быть объединены в одном вычислительном алгоритме, пример которого мы ниже рассмотрим.

Рис.37
            Исходными данными для алгоритма являются погрешность дискретизации D и число аномальных измерений в пачке М, больше которого вырабатывается сигнал “Сбой”. Кроме того, задается число N определяемое объёмом буферной памяти №1 (БП1). Эта память необходима для обработки информации следящим фильтром и объём её определяется числом допустимых аномальных измерений в одном пакете. То есть ориентировочно N может приниматься равной М.

            Условные обозначения в алгоритме:

            xi - очередное измерение;
            i - номер очередного измерения;
            j - номер аномального измерения;
            m - суммарное число аномальных измерений;
         D
x - модуль разности между очередным и аномальным измерением;
           x - функция равная “1” если xi > xi-1 и “0” если xi < xi-1

            В зависимости от ситуации, время для решения алгоритма может быть разным и достигает максимума при Т = Dt ´ M, где Dt интервал между измерениями. Кроме того, обработка информации производится по нескольким каналам и, наконец, для ускорения ввода информации в ЭВМ при полной обработке необходимо уплотнение информации в виде файлов определенной величины. В силу этого запись информации после фильтрации должна производится в двухстраничное буферное ЗУ, в котором сначала информация от фильтра записывается на одну страницу, а ввод в ЭВМ с другой. Затем страницы меняются.

            Итак, алгоритм работает следующим образом:

            При получении первого измерения xi по условию i = 1 значение x1 записывается в ОЗУ для дальнейшего использовании в алгоритме и в буферную память БП1 для дальнейшей фильтрации и записи в БП2.

            Далее, при поступлении измерения x2  производится его сравнение с x1. В случае если x2 > x1 , то xi = 1 , наоборот - 0. Значение xi запоминается, для использования в последующем, при этом запоминается последнее xi  для сравнения с очередным xi+1  . В случае i = 2xi , xi с xi+1 не сравнивается, поскольку xi от предыдущего измерения просто нет, поэтому происходит переход к следующему блоку - определения разности между очередным измерением xi и предыдущим xi-1 , то есть решается формула Dx = | xi-xi-1|. Далее сравнивается  Dx с заданным удвоенным значение погрешности дискретизации Dx£ ê2Dï. Если это условие выполняется, измерение считается нормальным и поступает на запись в ОЗУ в качестве xi и в БП1. Если Dx>ï2Dï, то измерение аномальное. При этом производится следующее. Во-первых, записывается в счётчик (Si=m) факт аномального измерения и сравнивается с числом М. В случае если m<М , то вычисляется и запоминается для дальнейшего использования в алгоритме m´4D. После этих манипуляций производится дальнейшая обработка измерения.

            Если xi+1>xi то исправленное значение xi+1 получается прибавлением к xi величины 2D , если наоборот, то 2D из xj вычитается. Поскольку неизвестно, кончилась ли последовательность пачки аномальных измерений {xj},(Причем j может быть равно и “1”) , то прибавленные xi+1 на выход фильтра не подаются, а используются в самом фильтре в качестве отсчета для сравнения с очередным измерением. То есть подаётся в блок решающий задачу: xi=xi>xi-1  и  Dx=|xi-xi-1|. Это продолжается до тех пор, пока не кончится пакет аномальных измерений, или не выполнится условие m>M, то есть не выработается сигнал “Сбой”, по которому процесс ввода информации должен прекратится до выяснения причин сбоя.

            Факт окончания последовательности аномальных измерений определяется по изменению знака разности очередных измерений, то есть если xi¹xi-1. В этом случае производится переход к другой ветви программы. Во-первых, снова производится определение модуля разности и сравнения его с величиной 4mD. Эта величина определяется как увеличившаяся зона неопределённости от последнего нормального измерения, то есть 2D´m´2 , где m число аномальных измерений в пакете. Удвоение производится ввиду того, что зона неопределённости симметрична относительно последнего нормального измерения.

            В том случае, если Dx£4mD, это измерение считается нормальным и алгоритм переходит к интерполяции зоны пакета аномальных измерений, то есть получается xj - xi+j=(xi-xi+m+1)/(m+1). Расчет производится до тех пор, пока j не станет больше m+1, то есть не дойдёт до последнего измерения. После этого интерполяция заканчивается и значение m обнуляется. Одновременно с интерполяцией полученные значения измерений поступают на запись в ОЗУ в качестве xi   и в БП1.

            В том случае, если  Dx>4mD то производится исправление полученного значения xi путем вычисления xi*=xi+m+4mD если xi=1 и xi*=xi+m-4mD если xi=0. Далее интерполяция производится таким же образом. Однако вероятность такого события крайне мала.

            После формирования массива информации в БП1 определяемого числом информационных слов Si=N информация поступает на фильтрацию по формуле (xi-1+2xi+xi+1)/4. Такая фильтрация обеспечивает несмещённость по времени измерений и хорошее качество фильтрации. Отфильтрованная информация поступает в буферную память БП2. Описанный алгоритм может быть изменён добавлением, например, функции прореживания, нормирования массивов в БП2 по определённому закону и т.д. Но это уже вопросы выходящие за рамки настоящей работы.

            6. Итак, вопрос фильтрации при помощи вычислительных средств рассмотрен. Необходимо отметить следующее. Борьба с помехами имеет комплексный характер. Она должна производиться на всех этапах получения, передачи, обработки и регистрации измерительной информации. Методически её можно определит в виде следующих направлений:
            - внедрение первичных преобразователей устойчивых к помехам и, особенно к аномальным измерениям;
            - правильное размещение датчиков, качественный расчёт демпфирующих площадок;
            - экранизация датчиков и аналоговая фильтрация в датчиках; - применение помехоустойчивых дискретных элементов в цифровых частях канала передачи информации;
            - внедрение помехоустойчивых линий связи, в частности с частотной модуляцией, а также волоконно-оптических, лазерных и т.п. линий связи;
            - применение помехоустойчивого кодирования, например на основе кодов Хемминга;
            - правильный выбор частотных диапазонов датчиков в соответствии со спецификой решаемых задач;
            - проведение цифровой фильтрации по каждому из измеряемых параметров;
            - проведение фильтрации по совокупности параметров (особенно взаимно коррелированных), на основе, например, дискретных фильтров Калмана-Бьюси.

            Каждое из этих направлений имеет свои преимущества и недостатки, а также требует определённых затрат. Наибольший эффект может быть достигнут оптимальным выбором совокупности вышеперечисленных методов.

ПРОДОЛЖЕНИE

Поиск и навигация по сайту
           Е-Mail: ПодписатьсяОтказаться
Рейтинг@Mail.ru
Copyright©2001

                       ЧРЕЗ ТЕРНИИ К ЗВЕЗДАМ

 ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ