![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Выход | ![]() |
Ваш Login: "prodav". |
Раздел "Обработка сигналов и
изображений\Wavelet Toolbox"
"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева) В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу 12.1 Введение. В настоящей главе обсуждается вычислительный аспект построения
вейвлет-оценок, а также приводится краткий обзор программного обеспечения,
используемого для статистического вейвлет-анализа. 12.2 Каскадный алгоритм В настоящем параграфе собраны рекурсивные выражения для расчета коэффициентов вейвлет-разложения, позволяющие рассчитывать коэффициенты разложения более низкого уровня на основании коэффициентов более высокого уровня и наоборот. Данные рекурсии имеют название каскадного (или пирамидального) алгоритма. Прежде всего, построим каскадный алгоритм для коэффициентов разложения,
полученных посредством скалярного произведения Лемма 5.4, доказанная ранее, показывает, что коэффициенты разложения
удовлетворяют для всех
в которых
Как видно, простейшие выкладки приводят к выражению (12.2). Очевидно, выражение (12.1) может быть получено аналогично. Итак, выражения (12.1), (12.2) представляют собой каскадный алгоритм, причем первое из них реализует низкочастотный фильтр, тогда как второе - высокочастотный [28]. Предположим, что исследуемая функция
тогда как сама процедура выглядит следующим образом:
Здесь Вполне возможной представляется также обратная процедура расчета
коэффициентов
Получить данное выражение достаточно просто: для этого необходимо
вспомнить, что
Интересен тот факт, что
Обратимся теперь к случаю использования эмпирических коэффициентов разложения. Каскадный алгоритм в данном случае также является справедливым. Правда, в данном случае представляется целесообразным использовать некоторые его модификации, к обсуждению которых мы переходим. Во-первых, заметим, что в контексте статистического оценивания (см. главу 10) целью задачи является не столько расчет коэффициентов разложения, сколько построение оценки функции плотности на сетке, т.е. вектора
в котором
Здесь Между тем, расчет коэффициентов (12.7), (12.8) на практике представляет
собой весьма нелегкую задачу: функции С целью построения эмпирического каскадного алгоритма отметим, что эмпирические вейвлет-коэффициенты есть ни что иное как внутреннее произведение:
в котором
Иными словами, расчет эмпирических коэффициентов разложения происходит
следующим образом: вычисляются коэффициенты аппроксимации на наивысшем
уровне
после чего рассчитываются коэффициенты Опять же, как видно, стартовой проблемой оказывается расчет начальных
коэффициентов (12.10а): аналитическое выражение для функции Итак, выражения (12.9), (12.10), определяющие эмпирический каскадный алгоритм, оказываются полностью аналогичными выражениям (12.4), (12.5), определяющим теоретический алгоритм. По аналогии с процедурой обратного алгоритма можно составить также рекурсию
Однако здесь расчет таких коэффициентов уже не является проблемой:
алгоритм оперирует с мерой В заключение имеет смысл сказать несколько слов о том, что прямой и
обратный эмпирический каскадный алгоритм оперирует с финитным набором
коэффициентов, в связи с чем, скажем откровенно, не является полным
повторением теоретического алгоритма. Его получение подразумевает
простейшее распространение эмпирического алгоритма на множество Использование трешолдинга разрывает дискретное преобразование: после последовательного разложения данных на каждом из уровней разложения к коэффициентам применяется процедура трешолдинга, после чего данные восстанавливаются. Результирующая оценка представляет собой разложение функции в ряд по вейвлет-функциям. 1 Более подробно о Wavelet Toolbox, его функциях и возможностях можно найти здесь же, www.matlab.ru |
|