|
Раздел "Обработка сигналов и
изображений\Wavelet Toolbox"
"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод
К.А.Алексеева)
\
\
10. Статистические приложения
вейвлет-функций
10.9 Другие статистические модели
Помимо моделей функций плотности распределения, а также моделей
регрессионных оценок существует также ряд других моделей, для построения
которых в настоящее время привлекается техника вейвлет-анализа; некоторые
из таких моделей представлены в настоящем
параграфе.
Модель гауссового шума
является, возможно, наиболее часто используемой моделью в статистических
приложениях вейвлет-функций. Данная модель имеет вид стохастического
дифференциального уравнения
 |
(10.53) |
в котором W(t) представляет собой обычный броуновский процесс,
рассматриваемый на t
[0,1], , тогда как f(t) - некоторую неизвестную
функцию, подлежащую оцениванию.
Здесь необходимо отметить, что модель гауссова белого шума, введенная
И.Ибрагимовым и Р.Хасминским [77], изначально рассматривалась как
некоторая идеализация непараметрических регулярных регрессионных моделей.
В частности, предполагалось, что данная идеализация является адекватной
реальным процессам при
, причем . Скажем при этом, что модель (10.53) позволяет устранить
ряд чисто технических трудностей моделирования и, таким образом,
обеспечить неплохое средство решения ряда прикладных статистических задач.
Кроме того, последние работы, связанные с исследованием вопроса
эквивалентности экспериментальных результатов, позволяют расширить область
применения данной модели за счет ее приложения к более сложным начальным
условиям [16, 121].
Общие принципы построения вейвлет-оценок данных
в случае использования модели гауссова шума являются аналогичными;
исключение здесь составляют выражения для расчета коэффициентов
аппроксимации и детализации:
 |
(10.54) |
Ясно, что приведенные интегральные выражения позволяют рассчитать лишь
смещенные значения коэффициентов. Более детальное обсуждение процедуры
пороговой обработки, осуществляемой с использованием приведенной модели
гауссова шума, можно найти в работах [40, 44].
Модели
временных рядов, построенные с использованием
вейвлет-функций, и их поведение исследованы в работах [4,55,108]. Автор
работ [114, 115] унифицировал правила применения процедуры трешолдинга к
моделям различных типов и различной структуры. В работе [117] имеет место
краткий обзор методов использования трешолдинга в моделях, не обладающих
гауссовостью; в частности, в упомянутой работе содержатся нелинейные
адаптивные схемы, позволяющие вычислять спектральные оценки временных
рядов.
В последнее время значительно возрос интерес к проблеме
построения вейвлет-оценок нестационарных зависимых процессов, локальное
поведение которых всё же обладает некоторой малой вариативностью или даже
стационарностью. Среди работ, посвященных данной проблеме, можно отметить
[26, 45, 118, 147].
Диффузионные модели.
Поведение линейных вейвлет-оценок коэффициента диффузии как функции
дискретного времени описано в работе [57]. Позднее, в работе [74]
предложена модификация таких оценок: нелинейные оценки коэффициента
диффузии как функции дискретного времени или пространственной координаты.
В частности, в упомянутой работе показано, что предложенные оценки
обеспечивают оптимальные скорости сходимости в достаточно широком наборе
классов гладкости.
Изображения
представляют собой возможный случай обобщения техники вейвлет-анализа на
случай нескольких переменных. Так, техника многопараметрического
многомасштабного анализа впервые была предложена в работе [101]; позднее,
детально разработанный вопрос построения вейвлет-оценок двумерных
изображений появился в работах [110, 122].
Можно перечислить также
ряд работ, посвященных построению вейвлет-оценок, основанных на
произведении базисов с одной переменной [29, 114, 115, 117,
143].
Математические вопросы сходимости, обеспечиваемой процедурой
трешолдинга при выполнении некоторых условий выбора порогового значения,
приведены в работе [143]: упомянутые вопросы исследованы для
многопараметрических классов Бесова применительно к задаче построения
функции плотности распределения. Обобщение этих результатов, а также
исследование случая построения непараметрической регрессии приведено в
[29]. Отметим, что приведенные исследования касаются лишь случая
изотропных многопараметрических классов Бесова, т.е. тех классов, в
которых гладкость моделируемой функции оказывается одинаковой во всех
направлениях. Далее, в работах [114, 115, 117] было также показано, что
произведение вейвлет-оценок может обеспечивать минимаксные скорости
сходимости в анизотропных классах.
Весьма интересное приложение
многопараметрической методологии оценивания найдено авторами работы [117]
к задаче построения спектральной плотности локально стационарных
процессов. В данном случае координаты время-частотной плоскости получают
несколько иное назначение. Теперь не приходится ожидать одинаковых
показателей гладкости в обоих направлениях: как результат, использование
анизотропных базисов кажется более адекватным.
\
\ |