Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".

Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

4. Некоторые основы анализа Фурье

В настоящей главе предпринята попытка изложить основы классического анализа Фурье без приведения каких-либо доказательств их справедливости (исключение здесь составляет лишь формула суммирования Пуассона). Подробное изложение теории Фурье-анализа можно найти в различных учебниках, среди которых целесообразно отметить, например, [84, 139].

Предположим, что есть в общем случае комплекснозначная функция действительного аргумента из , суммируемая с квадратом:

.

Результат преобразования Фурье такой функции есть непрерывная функция :

, (4.1)

которая, согласно лемме Римана-Лебега, стремится к нулю при . В том случае, если функция также суммируема с квадратом, причем сумма является ограниченной, для существует ее временной аналог, определяемый посредством обратного преобразования Фурье:

(4.2)

или, что то же самое,

.

Будем полагать, что обратное преобразование Фурье обеспечивает полное восстановление функции , при этом ее частотный аналог представляет собой функцию, интегрируемую всюду. Иначе говоря, последнее равенство является справедливым для любого .

Рассмотрим кратко следующие свойства преобразования Фурье.

Формула Парсеваля. В том случае, если функции и , их скалярное произведение определяется выражением

, (4.3)

и, следовательно,

. (4.4)

Преобразование Фурье смещенной и масштабированной функций.

, (4.5)

(4.6)

для всех .

Свертка. Определяя свертку двух функций как

(4.7)

и полагая при этом, что правая часть данного выражения существует, нетрудно доказать, что в частотной области свертка двух функций вырождается в произведение их образов Фурье:

.

В том случае, если функция является четной, справедливым также оказывается неравенство:

. (4.8)

Преобразование Фурье дифференциала функции. Полагая функцию такой, что

,

для любого можно записать следующее равенство:

, (4.9)

и наоборот, в случае, если

,

имеем:

. (4.10)

Кроме того, можно доказать справедливость следующей леммы.

Лемма 4.1. При условии, что является интегрируемой функцией для любого , имеет место следующий предел:

.

Ряды Фурье. Положим, что есть -периодическая функция действительной переменной такая, что или, в более сжатой форме . Будем утверждать, что данная функция может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся в ,

,

при этом спектральные коэффициенты данной функции рассчитываются на основании следующего выражения:

.

Формулу суммирования Пуассона введем в рассмотрение с помощью теоремы 4.1.

Теорема 4.1. Возьмем гладкую, быстро затухающую функцию и вычислим свертку данной функции и гребневой функции Дирака:

. (4.11)

Докажем, что функция может быть разложена в сходящийся ряд Фурье, причем спектральные коэффициенты данной функции рассчитываются на основании выражения:

. (4.12)

Доказательство. Прежде всего представляется целесообразным доказать существование преобразования Фурье функции . С этой целью потребуем выполнение условия ограниченности интеграла

.

Во-вторых, рассчитаем спектральные коэффициенты функции (4.11)., для чего изменим порядок следования знака суммы и интеграла и произведем замену переменных:

.

Замечание 4.1. В более общем случае, т.е. полагая, что функция является периодической с периодом , можно утверждать, что ряд сходится почти всюду и его коэффициенты Фурье рассчитываются на основании выражения

. (4.13)

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList