Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

12.1 Введение.

В настоящей главе обсуждается вычислительный аспект построения вейвлет-оценок, а также приводится краткий обзор программного обеспечения, используемого для статистического вейвлет-анализа.

В настоящее время существует целый набор программных средств: здесь можно отметить и Wavelab 600, и тулбоксы MatLab, предназначенные для вейвлет- и время-частотного анализа. Последнее программное обеспечение написано Букхатом, Ченом, Донохо, Джонстоном, Скаргом (Buckhut, Chen, Donoho, Johnstone, Scargh) и распространяется через Интеренет (wavelab@playfair.stanford.edu).

Большое место занимают вейвлет-модули для StatLib. Модули содержат описание правил использования, вейвлет-функции. Модули работают как под Windows, так и под UNIX. Предназначены для инженеров, ученых, специалистов в области обработки сигналов. Не так давно в MatLab появился Wavelet Toolbox, позволяющий осуществлять выбор базисов, цветовой гаммы трешолдинга одно- и двумерных данных.1

12.2 Каскадный алгоритм

В настоящем параграфе собраны рекурсивные выражения для расчета коэффициентов вейвлет-разложения, позволяющие рассчитывать коэффициенты разложения более низкого уровня на основании коэффициентов более высокого уровня и наоборот. Данные рекурсии имеют название каскадного (или пирамидального) алгоритма.

Прежде всего, построим каскадный алгоритм для коэффициентов разложения, полученных посредством скалярного произведения , . Будем полагать далее, что в качестве базисных функций, участвующих в разложении, используются функции с компактным носителем, построенные из тригонометрического полинома (см. главы 5-7). Напомним, что коэффициенты здесь представляют собой коэффициенты фильтров такие, что только ограниченное их число имеет ненулевые значения. Сказанное предполагает использование в качестве упомянутых функций базис Добеши, коифлеты, симлеты.

Лемма 5.4, доказанная ранее, показывает, что коэффициенты разложения удовлетворяют для всех соотношениям:

, (12.1)
, (12.2)

в которых . Действительно,

.

Как видно, простейшие выкладки приводят к выражению (12.2). Очевидно, выражение (12.1) может быть получено аналогично.

Итак, выражения (12.1), (12.2) представляют собой каскадный алгоритм, причем первое из них реализует низкочастотный фильтр, тогда как второе - высокочастотный [28].

Предположим, что исследуемая функция имеет компактный носитель. Тогда, вследствие того обстоятельства, что базисные функции также компактны, ненулевыми в разложении окажется лишь конечное число коэффициентов на каждом из уровней. Следовательно, для вектора , состоящего из коэффициентов разложения, взятых на начальном уровне , можно восстановить коэффициенты аппроксимации и детализации на уровнях , используя рекурсивные формулы каскадного алгоритма. Здесь достаточно лишь запомнить, что с увеличением глубины уровня разложения, число коэффициентов будет уменьшаться в 2k раз. В том случае, если процедура расчета коэффициентов останавливается на некотором конечном уровне , результирующий вектор коэффициентов принимает вид:

,

тогда как сама процедура выглядит следующим образом:

. (12.3)

Здесь представляет собой оператор вейвлет-преобразования, имеющий вид матрицы.

Вполне возможной представляется также обратная процедура расчета коэффициентов по имеющимся коэффициентам . Обратный алгоритм сводится к использованию выражения

+. (12.4)

Получить данное выражение достаточно просто: для этого необходимо вспомнить, что , где есть оператор ортогональной проекции функции на пространство . Следовательно, можно заключить, что

+. (12.5)

Интересен тот факт, что

,

.

Обратимся теперь к случаю использования эмпирических коэффициентов разложения. Каскадный алгоритм в данном случае также является справедливым. Правда, в данном случае представляется целесообразным использовать некоторые его модификации, к обсуждению которых мы переходим.

Во-первых, заметим, что в контексте статистического оценивания (см. главу 10) целью задачи является не столько расчет коэффициентов разложения, сколько построение оценки функции плотности на сетке, т.е. вектора

,

в котором

, (12.6)
, (12.7)
. (12.8)

Здесь представляют собой данные, разбитые на неперекрывающиеся интервалы такие, что , тогда как - функцию трешолдинга. Как видно, различие между оцениванием плотности и регрессионным оцениванием проявляется в данном случае лишь в разделении данных на группы: действительно, в случае оценивания плотности совокупность представляет собой гистограмму, тогда как в случае регрессионного оценивания - регрессограмму. Таким образом, оценки (12.6) - (12.8) могут быть использованы для решения задач параметрического оценивания при условии правильного построения данных в группах.

Между тем, расчет коэффициентов (12.7), (12.8) на практике представляет собой весьма нелегкую задачу: функции , как известно, не имеют аналитического выражения, в связи с чем использование рекурсивного алгоритма является единственно возможным путем расчета. Вопрос эффективного построения оценки функции в точках временной сетки более изящен. Однако рассмотрение данного вопроса отложим на следующий параграф, в котором вместе с тем представим также некоторые быстрые приближающие способы расчета, используемые на практике.

С целью построения эмпирического каскадного алгоритма отметим, что эмпирические вейвлет-коэффициенты есть ни что иное как внутреннее произведение:

,

,

в котором

,

- дельта-функция Дирака, характеризующая массу в точке, тогда как . Подобно выражению (12.1), можно получить следующие рекурсивные формулы для эмпирического каскадного алгоритма:

, (12.9)
, (12.10)

Иными словами, расчет эмпирических коэффициентов разложения происходит следующим образом: вычисляются коэффициенты аппроксимации на наивысшем уровне с использованием выражения

, (12.10a)

после чего рассчитываются коэффициенты с использованием выражений (12.9), (12.10) на каждом из уровней. Коэффициенты фильтров, имеющих место под знаком суммы в упомянутых выражениях, можно отыскать в [28]. Весьма важно помнить, что число таких коэффициентов в выражениях не превышает 10-20.

Опять же, как видно, стартовой проблемой оказывается расчет начальных коэффициентов (12.10а): аналитическое выражение для функции является, по-прежнему, неизвестным.

Итак, выражения (12.9), (12.10), определяющие эмпирический каскадный алгоритм, оказываются полностью аналогичными выражениям (12.4), (12.5), определяющим теоретический алгоритм. По аналогии с процедурой обратного алгоритма можно составить также рекурсию

+. (12.11)

Однако здесь расчет таких коэффициентов уже не является проблемой: алгоритм оперирует с мерой вместо функции исходной .

В заключение имеет смысл сказать несколько слов о том, что прямой и обратный эмпирический каскадный алгоритм оперирует с финитным набором коэффициентов, в связи с чем, скажем откровенно, не является полным повторением теоретического алгоритма. Его получение подразумевает простейшее распространение эмпирического алгоритма на множество .Более того, данный алгоритм реализует ни что иное, как дискретное вейвлет-преобразование [101], которое будет описано в следующем параграфе.

Использование трешолдинга разрывает дискретное преобразование: после последовательного разложения данных на каждом из уровней разложения к коэффициентам применяется процедура трешолдинга, после чего данные восстанавливаются. Результирующая оценка представляет собой разложение функции в ряд по вейвлет-функциям.

1 Более подробно о Wavelet Toolbox, его функциях и возможностях можно найти здесь же, www.matlab.ru

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList