|
Раздел "Обработка
сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"
"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)
\ \
9. Аппроксимация в пространствах Бесова
9.1 Введение
Настоящая глава посвящена
проблеме аппроксимации функций в пространствах Бесова.
Несомненным достоинством
пространств Бесова по сравнению с пространствами Соболева является бόльшая
общность описания гладкости функций, а также возможность описания функций
посредством коэффициентов их разложения по базису вейвлет: вспомним,
пространства Соболева такую возможность не допускают. В связи с этим скажем,
что пространства Бесова являют собой весьма удобное средство вейвлет-анализа
кривых.
Общие вопросы построения
пространств Бесова можно найти в работах [8, 9, 31, 119, 127, 145].
9.2 Пространства Бесова
В настоящем параграфе рассмотрим
пространства Бесова, для чего введем в рассмотрение характеристику функций - модуль
непрерывности первого и второго порядков.
Определение
9.1 модуля непрерывности. Положим, существует некоторая функция , причем . Вводя оператор разности
как и полагая
при этом, что ,
определим модуль непрерывности функции следующим образом:
,
.
Лемма
9.1. Для всякой функции имеют место следующие утверждения:
1)
и представляют собой
неубывающие функции аргумента , причем ≤2 ≤4 ;
2)
;
3)
для всех
;
4)
для всех
;
5)
в том
случае, если ;
6)
в том
случае, если .
Доказательство.
1)
Доказательство первого утверждения является очевидным из определения
модуля непрерывности;
2)
Поскольку ,
можно записать, что и,
таким образом,
.
Полагая , можно видеть
справедливость второго утверждения. Дело в том, что неравенство второго
утверждения вытекает из простого сравнения представленного ряда и интеграла
Римана, в котором подынтегральная функция является неубывающей, тогда как - убывающей;
3)
Доказательство следующего неравенства является справедливым в силу того
факта, что для
всякого ;
4)
Поскольку ,
то, очевидно,
.
>Таким образом, для всякого ;
5)
В том случае, если , то или, что то же самое, , имеет место неравенство: ;
6)
В том случае, если , то
> .
С другой
стороны, .
Следовательно,
>
и
>
> .
□
В настоящей
главе используются пространства , поэтому, прежде чем перейти к доказательству
следующей леммы, приведем несколько характеристик данных пространств.
Положим,
существует некоторое множество действительных чисел и . Определим норму в пространстве следующим образом:

Иначе говоря,
пространство представляет
собой пространство множеств , норма которых удовлетворяет неравенству .
Аналогичным
образом можно определить пространства и их норму множеств . Здесь, правда, исключение
составляет изменение обозначения такого пространства - , а также смена пределов
суммирования j.
Следующая
лемма являет собой дискретный аналог леммы 8.2.
Лемма 9.2. Положим, существуют множества и , причем . Тогда свертки
,

обеспечивают следующую
принадлежность , .
Доказательство.
Рассмотрим функцию на такую, что :

Ясно, что являет собой норму в
взвешенном пространстве .
Определение
9.2. В том случае, если , и , где и , пространство Бесова представляет собой пространство
функций , таких
что и . Функция в пространстве Бесова
имеет норму .
Замечание
9.1. Здесь следует вспомнить неравенство Харди: если , то

для всех и

для случая . Таким образом, для можно записать, что

если , и
,
если . Теперь видно, что при в определении пространства
Бесова можно использовать модуль вместо модуля . Однако при данная подмена не может быть справедливой.
Действительно, если рассматривать функцию , принадлежащую пространству (пространству Зигмунда),
можно увидеть, что норма данной функции . Другим интересным моментом приводимого
примера является то обстоятельство, что данная функция удовлетворяет условию
Гёльдера с показателем 1-ε. Такое обстоятельство может быть
интерпретировано как факт наличия регулярности у функции, равной 1.
Другим примером
невозможности подмены является классическое броуновское движение.
Действительно, различные фрагменты движения почти удовлетворяют условию
Гёльдера с показателем ,
не являясь при этом чисто гёльдеровыми. Правда, истинная регулярность
фрагментов броуновского движения всё же равняется ½, поскольку они
принадлежат пространству .
Определение 9.2
можно дискретизировать, например, посредством следующего определения.
Определение
9.3. Пространство Бесова является пространством функций
таких, что и . При этом норма функции, принятая в таком
пространстве, определяется следующим образом:
.
Отметим,
эквивалентность определений 9.2, 9.3 имеет место, благодаря тому факту, что
функция является
неубывающей, тогда как функция - напротив, убывающей. Действительно, можно
записать, что

и
.
Замечание
9.2. При рассмотрении леммы 9.2 можно заметить, что для и нецелого функция может быть заменена
функцией .
Наличие целого значения у показателя подразумевает, напротив, использование
функции . Здесь
для пояснения сказанного достаточно показать, например, что говорит о функции как о константе.
9.3 Разложение Литтлвуда-Пэли
В настоящем
параграфе представляется целесообразным охарактеризовать пространства Бесова
посредством использования разложения Литтлвуда-Пэли. Кроме того, кажется
полезным приведение некоторых элементов теории распределения Шварца.
Обозначим
пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем через , тогда как через - обычное пространство
Шварца (пространство бесконечно дифференцируемых функций, убывающих вместе со
своими производными быстрее любых наперед заданных полиномов).
Положим,
существует некоторая функция , образ Фурье которой (см. рис. 9.1) обладает следующими
свойствами: , и при . Предположим также, что существует функция , образ Фурье которой (см.
рис. 9.2) может быть задан выражением . Весьма важным является то обстоятельство,
что функция может
подвергаться масштабированию на уровнях таким образом, что и, следовательно, претерпевать масштабирование
в спектральной фурье-области: , причем
. |
(9.1) |

Рис.
9.1. Образ Фурье функции при


Рис.
9.2 Образ Фурье функции при

Из (9.1)
следует, что для всякой функции данное выражение может быть переписано в
виде:
. |
(9.2) |
Переписывая
во временной области данное выражение в операторной форме
, |
(9.3) |
где , , нетрудно догадаться, что
|
(9.4) |
для любой функции (здесь круглые скобки
обозначают операцию внутреннего произведения функций).
Отметим,
выражения (9.1) - (9.4) представляют собой основные выражения, характеризующие
разложение Литтвуда-Пэли.
Лемма
9.3 (теорема Бернштейна). Положим, существует функция для такая, что ее образ Фурье удовлетворяет условию: . Тогда можно отыскать
некоторую константу такую,
что для всех .
Доказательство.
Рассмотрим функцию при , положив, что . Тогда, очевидно, можно сказать, что образ
Фурье данной функции имеет вид . В том случае, если , имеет место также временная запись
; следовательно,
запись также
является справедливой. При этом, в силу леммы 8.2 можно утверждать, что , где .
Лемма
9.4. Положим, существует функция для такая, что для . Тогда будем утверждать, что и
. |
(9.5) |
Доказательство.
В случае разложения Литтлвуда-Пэли функции имеет место неравенство
,
позволяющее считать, что . Аналогичным образом
можно сказать, что подобное неравенство выполняется для оператора разности:
.
Поскольку согласно лемме 9.1 (п.1)
для любого значения ,
видно, что для
любых функций .
□
Теорема
9.1. В том случае, если , , и , функция принадлежит пространству тогда и только тогда, когда
. |
(9.6) |
Доказательство
необходимости (9.6). Предположим, что функция и , где и , тогда функция имеет компактный носитель и в силу свойства
(4.10)
.
Следовательно,

,
причем здесь представляет собой функцию из
пространства ,
определяемую как ,
тогда как функция принимает
значение, равное 1 в пределах носителя образа , и нулевое значение в окрестности точки 0.
Согласно
лемме 8.2,
. |
(9.7) |
Здесь правая часть неравенства
(9.7) получена интегрированием по частям и использованием того факта, что . Оценим значение данной
нормы, для чего рассмотрим интеграл . Поскольку функция является четной,
=

,
что, согласно леммам 8.1, 9.1, обеспечивает в итоге:


. |
(9.8) |
Здесь представляет собой
некоторую положительную константу: дело в том, что интеграл, входящий в
неравенство, является конечным в силу того, что функция обладает компактным носителем и при
этом может быть бесконечно дифференцируема. Следовательно, на основании
свойства 4.1, приведенного в главе 4, по мере того, как для всякого 
Таким образом, на основании выражений (9.7), (9.8) можно показать, что
, |
(9.9) |
причем есть некоторая константа.
В то же время, по определению 9.3 в том случае, если функция принадлежит пространству , тогда . Из этого можно
заключить, что и,
следовательно, факт того, что , становится очевидным.
Доказательство достаточности (9.6). Положим, что , , где , и принадлежит пространству . Тогда
, |
(9.10) |
что в свете леммы 8.2 даёт:
. |
(9.11) |
В частности, из этого следует, что
|
(9.12) |
и на основании
леммы 9.4 .
Теперь остаётся доказать, что . Действительно, руководствуясь определением
9.3, при можно
использовать грубую оценку (лемма 9.1, п.1):
,
в которой есть константа. Далее,
можно записать, что
|
(9.13) |
и
. |
(9.14) |
Более тонким доказательство является для случая . Здесь носитель образа Фурье включает интервал и , таким образом,
согласно лемме 9.3, его норма
, |
(9.15) |
в которой есть константа. Используя лемму 9.1
(п.6), а также выражения (9.11), (9.15), можно найти, что

, |
(9.16) |
где есть константа.
Привлекая к
доказательству выражение (9.12) и используя при этом лемму 9.4, для имеем:

. |
(9.17) |
Кроме того, видно, что
 , |
(9.18) |
где .
С другой стороны, на основании
леммы 9.1 (п.1) и выражения (9.11)
, |
(9.19) |
где .
Наконец, основания,
использованные для вывода выражений (9.11), (9.15), дают:

, |
(9.20) |
где - положительные константы.
Финалом доказательства является
совместное рассмотрение выражений (9.17) - (9.20), обеспечивающих следующий
вывод:

или, при добавлении к рассмотрению выражений (9.13),
(9.14) вывод
,
что доказывает теорему.
□
Теорема 9.1 позволяет получить
следующую характеристику пространств Бесова.
Теорема 9.2. Положим есть
некоторое целое, ,
и . Потребуем также, чтобы
функция была
измерима по Борелю на .
Тогда необходимое и достаточное условие для того, чтобы , выглядит следующим образом:
, |
(9.21) |
причем
|
(9.22) |
где .
Замечание
9.3. Равенство (9.21) является аналогичным разложению Литтлвуда-Пэли.
Точнее говоря, для
любой функции .
Доказательство.
Необходимость является прямым следствием теоремы 9.1 при условии, что . Второе неравенство в
выражении (9.22) следует из леммы 9.3 (действительно, носитель образа Фурье включает интервал ).
Покажем, что
условия (9.21) и (9.22) являются необходимыми для того, чтобы . Иначе говоря,

для любых . Следовательно, ряд сходится в гильбертовом
пространстве и при этом справедливо неравенство:
. |
(9.23) |
Теперь можно
записать, что
. |
(9.24) |
Оценим первую
сумму в выражении (9.24):

, |
(9.25) |
где, как и в доказательстве теоремы 9.1, представляет собой функцию,
определяемую как .
Отыскивая обратное преобразование правой и левой частей полученного выражения,
имеем:

.
Это означает, что
. |
(9.26) |
Собирая вместе
выражения (9.23), (9.24), легко получить выражение (9.6) и таким образом
доказать, что .
9.4 Теорема аппроксимации в пространствах Бесова
Результат, представленный в данном параграфе, является
аналогом теоремы 8.1 об аппроксимации в пространствах Соболева, изложенной
ранее.
Теорема
9.3. В том случае, если ядро аппроксимации удовлетворяет условиям для всех и для всех , и , тогда , где .
Доказательство.
Положим, ряд представляет
собой разложение Литтлвуда-Пэли функции . Поскольку в связи с этим ряд также представляет собой
разложение Литтлвуда-Пэли, можно записать, что

 |
(9.27) |
на основании выполнения условия и леммы 8.2. По теореме
9.1
, |
(9.28) |
причем носитель образа Фурье
функции находится
в пределах . Из
этого следует, что
, |
(9.29) |
где некоторая константа. Таким образом, функция удовлетворяет требованиям,
формулируемым в теореме 8.1 (п.2).
Поступая
аналогичным теореме 8.1 образом, запишем:


, |
(9.30) |
где есть константа, не зависящая от .
Положим,
параметр принимает
значение . Тогда,
согласно лемме 9.1 (п.5), а также выражениям (9.29), (9.30) имеем:
. |
(9.31) |
Теперь,
используя данное неравенство, можно записать:
.
□
Замечание
9.4. Следующее выражение можно получить непосредственно из выражения
(9.30):
,
доказывающее теорему 9.3 для
случая . Можно
сказать, разложение Литтлвуда-Пэли есть цена, которую надо платить за целое
значение .
9.5 Вейвлеты и аппроксимация в пространствах Бесова
В настоящем
параграфе рассмотрены аналогии между вейвлет-разложением функций и разложением
Литтлвуда-Пэли, наблюдающиеся при некоторых условиях.
Пусть, как и
ранее, скейлинг и вейвлет-функции определяются следующим образом:
,
,
где . Кроме того, известно, что функция может быть разложена в
сходящийся в гильбертовом пространстве ряд
, |
(9.32) |
в котором коэффициенты аппроксимации
и детализации рассчитываются как
,
.
Рассмотрим
ядро аппроксимации и
разложение функции в
ряд с его использованием:
,
,
показывающий, помимо прочего, тот
факт, что
. |
(9.33) |
Положим, представляет собой норму
коэффициентов аппроксимации в пространстве . Предположим также, что скейлинг-функция
удовлетворяет условию существования -функции , введенному в п. 8.5 предыдущей
главы. Тогда, согласно утверждению 8.6 (п.5), данное условие является также
справедливым для вейвлет-функции.
Применяя
утверждение 8.3 к неравенству Рисса, можно получить:
, |
(9.34) |
. |
(9.35) |
Теорема
9.4. В том случае, если представляет собой скейлинг-функцию,
удовлетворяющую условиям ,
, и , , , тогда
1)
и,
следовательно, ,
причем , где ;
2)
и,
следовательно, ,
причем , где .
Доказательство.
1). Первое
утверждение теоремы является прямым следствием теоремы 9.3, поскольку
выполнение условия подразумевает
выполнение условия ;
2). На
основании выражения (9.34) и замечания 8.3 можно записать, что
.
С другой
стороны, на основании выражения (9.35) и предыдущего доказательства можно
записать, что

.
□
Замечание
9.5. Более грубый результат может быть получен в случае, если
скейлинг-функция удовлетворяет условию . Тогда ядро аппроксимации удовлетворяет условию и, следовательно,
|
(9.36) |
при в случаях, если и , либо и . Можно также записать, что , , при слабой топологии для всякой функции из
гильбертова пространства. Действительно, вводя в рассмотрение некоторую функцию
, имеем:
,
где .Между тем, сопряженной ядро также
удовлетворяет условию ,
что подразумевает следующее обстоятельство: по мере и, как результат,
.
□
Как видно,
результат теоремы 9.4. является аналогичным результату, полученному для
проблемы аппроксимации в пространстве Соболева: предположения и требования,
предъявляемые к скейлинг-функции, в доказанных теоремах являются схожими.
Действительно, для всех можно
записать, что и,
следовательно, ,
причем , где . Сказанное означает, что и, следовательно, , причем
, |
(9.37) |
где . Между тем, использование теоремы 8.1 (п.1),
теоремы 8.3 и теоремы 9.4 обеспечивает результат: и, следовательно, , причем , где , а также и, следовательно, , причем
, |
(9.38) |
где , тогда как представляет собой пространство
последовательностей, стремящихся к 0.
Необходимо
отметить, что утверждения, полученные в виде (9.37), (9.38), не могут быть обратными:
дело в том, что пространства Соболева не могут быть охарактеризованы
посредством вейвлет-коэффициентов. В то же время, пространства Бесова позволяют
принимать подобные характеристики.
Теорема
9.5. В том случае, если скейлинг-функция удовлетворяет условиям (8.33), (8.34), а также
условию существования -функции,
и при этом дифференцируема
так, что ( )-ая
производная также удовлетворяет условию существования -функции, тогда для , , и функции можно утверждать, что
1)
, где и, следовательно, ;
2)
, , где , и , следовательно, .
Доказательство.
1). Положим,
что , . Тогда норма
, |
(9.39) |
где .
Далее, можно
показать, что можно отыскать такие коэффициенты , что
,
поскольку в общем случае . Таким образом, согласно
утверждению 8.3,
, |
(9.40) |
но поскольку
,
то в нотации норм,
.
Принимая во
внимание выражения (9.34), (9.35), можно записать данное выражение также в
следующем виде:
. |
(9.41) |
Теперь
остаётся лишь показать, что выражения (9.39) и (9.41) обеспечивают
справедливость выражения (9.22), что, в свою очередь, делает справедливым
утверждение .
2).
Предположения, вынесенные в формулировку теоремы, совместно с выражениями
(9.34), (9.35) предполагают, что , , где . Следовательно, можно заключить, что

и ряд сходится к в пространстве . Действительно, можно показать, что

для всякого и, следовательно,

,
где согласно лемме 9.2.
Окончание
доказательства подразумевает лишь использование части 1) доказательства
настоящей теоремы.
□
Теорема
9.6. В том случае, если скейлинг-функция удовлетворяет условиям (8.33), (8.34), а также
условию существования -функции
и условию , и при этом дифференцируема так, что ( )-ая производная также
удовлетворяет условию существования -функции, тогда для , , и функции следующие утверждения являются
эквивалентными:
В1) ;
В2) , где ;
В3) , , где .
Доказательство.
Импликации В2)=>В1), В3)
=>В1) следуют непосредственно из теоремы
9.5, поскольку условие , накладываемое на скейлинг-функцию,
подразумевает выполнение условия существования -функции.
В то же время
импликации В1)=>В2), В1)
=>В3) следуют из теоремы 9.4, которая позволяет
также утверждать, что .
□
Вывод
9.1. Руководствуясь предположениями, высказанными при формулировании
теоремы 9.6, можно утверждать, что норма функции в пространстве Бесова , рассчитываемая для , , является эквивалентной норме,
рассчитанной в пространстве коэффициентов разложения данной функции:
,
в которой
,
.
Пример
9.1. С целью корректной аппроксимации некоторой функции с показателем , является достаточным
использование вейвлет-разложение данной функции вейвлетом Добеши .
В заключение
необходимо отметить, что описание пространства Бесова в терминах коэффициентов
разложения возможно лишь при использовании регулярных вейвлетов. Действительно,
при использовании результатов теоремы 9.6 можно увидеть, что скейлинг-функция должна быть дифференцируема
не менее раз. Однако
в силу выражения (7.10) необходимое свойство дифференцируемости могут
обеспечить лишь функции и
более высоких порядков. В противном случае остаётся довольствоваться приближенными
оценками: здесь для этих целей годятся функции при достаточно большом .
Итак, можно, наконец,
показать, что часть промежуточных теорем может быть доказана на основании
приведенных уже результатов.
Вывод
9.2. Положим, ,
, , тогда
1)
;
2)
для
любого ;
3)
в том
случае, если ;
4)
в том
случае, если .
\ \
|