Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

12.3 Алгоритм дискретного вейвлет-преобразования

С целью построения алгоритма дискретного вейвлет-преобразования введем некоторые линейные преобразования. Прежде всего, обозначим для всех сумму чисел по модулю s следующим образом: , а также положим, что есть некоторый вектор, в котором s четно. Тогда вводимые преобразования положим имеющим вид:

,

для всех . Очевидно, данные выражения являют собой аналоги высокочастотного и низкочастотного фильтров (12.1), (12.2) с учетом периодического дополнения данных при помощи суммирования по модулю. Ясно, что преобразования , осуществляют разделение исходного вектора длиной s на два вектора половинной длины.

Итак, алгоритм вейвлет-преобразования сводится к реализации итеративной процедуры - и -преобразований, применяемых к вектору . Результатом таких преобразований служат векторы , коэффициентов аппроксимации и детализации.

Иначе говоря, рекурсивно данный алгоритм выглядит следующим образом:

, (12.12)
. (12.13)

Отметим, введенные обозначения для коэффициентов разложения являются весьма схожими с обозначениями коэффициентов , тогда как рекурсии (12.12), (12.13) - с каскадным алгоритмом. Дело в том, что построение алгоритма дискретного преобразования полностью основывается на теории дискретного преобразования в базисе вейвлет-функций (см. предыдущий параграф). Основным отличием здесь является то обстоятельство, что в статистических приложениях коэффициенты лишь приближенно соответствуют коэффициентам разложения .

Отметим, рекурсии (12.12), (12.13) могут см успехом применяться к расчету коэффициентов аппроксимации и детализации также для случаев : дело в том, что дополненные последовательности являются периодическими, причем

,

.

Алгоритм обратного дискетного преобразования сводится к реализации выражения (12.11) также при условии периодизации данных. Алгоритм начинается с восстановления векторов

,

и продолжается до восстановления вектора , пока не станет . Рекурсивное выражение для восстановления данных в этом случае имеет вид:

. (12.14)

Очевидно, что промежуточные векторы коэффициентов содержат данные, также являющиеся периодическими:

. (12.15)

12.4 Статистический дискретный вейвлет-анализ

Разбиение данных

Итак, расчет вейвлет-оценок основывается на дискретном вейвлет-преобразовании, описанном выше. Как было показано, такой анализ подразумевает работу с данными, длина которых равна , где К - некоторое целое. Однако на практике длина исследуемых данных весьма часто оказывается не равной степени числа 2, в связи с чем возникает необходимость натяжения таких данных на эквидистантную сетку с числом узлов . Сказанное при этом является справедливым как для задач оценивания плотности распределения, так и для задач регрессионного сглаживания данных.

Процедуры деления данных на интервалы для оценивания плотности и регрессионного анализа введены в параграфах 10.2, 10.8 соответственно. В данном месте обсуждается эффект, вносимый подобным разбиением на качество синтезируемых оценок. Примеры, используемые для обсуждения эффекта, взяты из гл. 10, рис. 10.1 - 10.11.

Для взятых в качестве примера данных длиной исследован эффект деления на интервалы, состоящие из точек. Интегральные среднеквадратичные ошибки построения оценок приведены в таблице 12.1.

Таблица 12.1

Интегральные среднеквадратические ошибки

для интервалов разбиения различной длины

m

S8 жесткий

S8 мягкий

H жесткий

H мягкий

8

1

1,4157

1

1,4335

16

0,29267

1,0596

0,13811

0,55132

32

0,054237

0,26103

0,047822

0,41557

64

0,053587

0,23887

0,029666

0,22516

128

0,068648

0,27802

0,057907

0,29147

256

0,15012

0,37995

0,1348

0,37757

512

0,19506

0,53409

0,18746

0,55368

Как видно из таблицы, интегральная СКО достигает своего минимума при . График данной ошибки показан на рис. 12.1.

Несмотря на тот факт, что для подобных оценок можно определить оптимальный размер интервала, следует быть весьма осторожным в его статистической интерпретации. Дело в том, что разбиение данных на интервалы есть своего рода предварительное сглаживание, которое в теории достаточно часто в расчет не принимается. Очевидно, с ростом числа интервалов разбиения теряется большая часть вычислительной эффективности быстрого алгоритма. Точки, показывающие значения СКО на рис. 12.1 представляют собой компромисс между скоростью вычисления оценки и качеством предварительного сглаживания.

Приближенное построение вейвлет-оценок

Алгоритм реализации дискретного вейвлет-преобразования для целей построения статистических оценок (12.6) - (12.8) выглядит следующим образом:

  1. Границы преобразований и начальные условия. Здесь вместо начального уровня разложения данных целесообразно использовать уровень . Начальные значения коэффициентов устанавливаются равными , .

  2. Прямое преобразование. Прямое разложение данных (12.12), (12.13) происходит в пределах , , при этом результирующий вектор коэффициентов разложения имеет вид:

    .

    Векторы имеют длину, равную , тогда как вектор - длину, равную .

  3. 3. Обратное преобразование. Обратное преобразование (восстановление данных) (12.14), (12.15) происходит в пределах , -1, причем исходными данными для преобразования являются данные , прошедшие процедуру трешолдинга:

    ,

    ,

    . (12.16)

    Результат обратного преобразования обеспечивает значений вектора . Иначе говоря, результат восстановления представляет собой вектор , в котором

    .

    Другими словами, значения используются в качестве аппроксимаций значений функции .

Рис. 12.1

Интегральная СКО, построенная для симмлета S8

Сделаем в данном месте несколько замечаний по поводу приведенного алгоритма. Во-первых, определение дискретного преобразования подразумевает использование данных, периодически дополняемых на каждом шаге алгоритма. Иначе говоря, данные представляют собой результат диадического суммирования, в котором исходные данные дополняются периодически на Z таким образом, что для .

Во-вторых, как было подчеркнуто ранее, верхний уровень разложения в приводимом алгоритме не участвует: на практике полагается , причем процедуры пороговой обработки применяют к коэффициентам разложения всех уровней за исключением уровня K, содержащего лишь коэффициенты аппроксимации. Однако если предполагается исключение коэффициентов разложения уровней, старших , как это сделано в примере с линейной вейвлет-оценкой, определение (12.6) дополняется условием:

.

Подобно (12.3) действия 1 - 3 алгоритма могут быть представлены в матричной форме. С этой целью вектор исследуемых данных обозначим через . Тогда прямое преобразование примет вид:

, (12.17)

в котором представляет собой оператор размерностью . Легко показать, что данный оператор является ортогональным, поскольку содержит произведения конечного числа ортогональных матриц-операторов, соответствующих различным шагам алгоритма Малла [101].

Пусть оператор обозначает процедуру трешолдинга вектора :

,

тогда как оператор обратного преобразования - , или в силу ортогональности . Следовательно, результат последовательного приложения действий 1 - 3, выражаемый вектором , может быть получен следующим образом:

.

В том случае, если решаемой задачей является построение линейной вейвлет-оценки и в качестве уровня принимается уровень , трешолдинг сводится к преобразованию идентичности, обеспечивающему в итоге . Дело в том, что сохранение коэффициентов разложения на каждом из уровней в данном случае позволяет итоговой оценке лишь повторить исходные данные.

Далее, алгоритм, представленный действиями 1 - 3, является общим правилом построения вейвлет-оценок. Отметим, данный алгоритм является более быстрым по сравнению с БПФ, поскольку требует выполнения лишь операций. Вообще говоря, алгоритм позволяет скорее строить аппроксимацию данных, нежели их оценку. Исключением здесь является разложение данных в базис Хаара. К сожалению, данный факт не обсуждается в литературе.

Остановимся на данном вопросе несколько подробнее. Рассмотрим с этой целью линейную оценку, положив для любых и k. Предположим также, что исходные данные удовлетворяют требованию:

. (12.18)

Известно, что рекурсии (12.9), (12.10) позволяют рассчитать оценки коэффициентов , тогда как выражения рекурсии (12.12), (12.13) - примерно те же коэффициенты в предположении, что исходные данные для рекурсии абсолютно те же. Однако в том случае, если требование (12.18) выполняется, исходные данные для (12.12), (12.13) в действии 3 алгоритма становятся отличными от аналогичных им данных обратной рекурсии (12.9), (12.10) на некоторый множитель . Следовательно, линейность алгоритма влечет за собой необходимость введения в прямое преобразование поправку:

,

.

Более того, поправке подвергается основное выражение для прямого преобразования:

, (12.19)

причем оператор приобретает вид:

.

Объединяя выражения (12.17) и (12.19), можно записать, что теперь

.

Итак, для линейных оценок теперь можно полагать

при любых и

при . Кроме того, оператор трешолдинга можно определить как идемпотентную матрицу , в которой при и в других случаях. Следовательно, итоговое выражение для аппроксимации можно записать в виде:

. (12.20)

Назовем полученное выражение желаемой аппроксимацией данных.

Теперь остается лишь объяснить, почему выражение (12.18) имеет смысл существовать. Дело в том, что

.

Для вейвлетов Хаара выражение (12.18) имеет смысл при наличии поправки . Для койфлетов коэффициенты с точностью, определяемой как , где является достаточно большим в силу того обстоятельства, что скейлинг-функция имеет ряд вырожденных моментов (правда, сказанное справедливо для достаточно гладких функций f(t)). Далее, указанное обстоятельство можно распространить также на эмпирические коэффициенты , обеспечивая справедливость (12.18).

Для прочих вейвлет-базисов справедливость выражения (12.18) не гарантируется. В работах [30, 33] данный вопрос обсуждается более детально, причем даже приводятся базисы, которые обеспечивают справедливость поправки с точностью для больших значений .

Замечание 12.1. Вообще говоря, базисы вейвлет-функций с компактным носителем могут быть заданы посредством коэффициентов для всех (см. главы 6, 7). Однако при программировании алгоритмов прямого и обратного преобразования осуществляют сдвиг нумерации коэффициентов таким образом, чтобы . Иначе говоря, коэффициенты фильтров нумеруются таким образом, что . Правда, результирующая вейвлет-оценка в итоге несколько отличается от первоначальной, полученной до введения новой нумерации. Между тем, для вейвлетов Добеши , и вопрос о перенумерации и, следовательно, сдвиге оценки не возникает.

Интересен также тот факт, что при построении линейных вейвлет-оценок условия, накладываемые на вырожденные моменты функций, остаются в силе при сдвиге номеров коэффициентов . Важные отличия в условиях появляются лишь при приближении к границам реализации и точкам разрыва.

В случае использования трешолдинга вейвлет-оценки, построенные для исходной последовательности коэффициентов и последовательности с перестроенной нумерацией, оказываются также различными.

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList