Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

10. Статистические приложения вейвлет-функций

10.5 Асимптотические свойства пороговых вейвлет-оценок

Займемся в данном разделе изучением -рисков, характеризующих вейвлет-оценки, введенные посредством (10.12). Так, ранее предполагалось, что в данном случае неизвестная функция плотности принадлежит пространству Бесова. Сравним затем получаемый результат с результатом (10.20), построенном на основании теоремы 10.3, и, таким образом, получим ответ на вопросы 10.1, 10.5.

Положим, как и ранее в теореме 10.3, что

,

при условии, что

.

Положим также, что параметры , характеризующие пороговую вейвлет-оценку (10.16), удовлетворяют условию:

, (10.29)
, (10.30)
. (10.31)

Теорема 10.4. Положим, что и представляет собой оценку (10.12) такую, что

  • скейлинг-функция удовлетворяет условиям теоремы 9.4 для некоторого целого ;

  • при условии использования порога ,

  • утверждения (10.29)-(10.31) удовлетворены полностью для .

Тогда для всякой достаточно большой константы имеет место следующее утверждение:

в котором представляют собой некоторые положительные константы, зависящие от .

Замечание 10.5.

  • в пространственном случае скорость сходимости является известной, поскольку теоремы 10.3, 10.4 согласуются. Вейвлет-оценка в данном случае достигает оптимальной скорости сходимости, равной ;

  • на границе пространственной зоны при нижняя и верхняя значения различаются на некоторый логарифмический множитель. Поскольку данный результат может быть соотнесен с результатом, полученным для белого гауссова шума, верхнее значение, похоже, оказывается корректным , тогда как нижнее (10.17) - чрезмерно оптимистичным. В рассматриваемом случае скорость сходимости оказывается полностью зависящей от параметра ;

  • в регулярном случае упомянутые теоремыне находят согласия, поэтому здесь логарифмическая поправка, необходимая для выбора порога, оказывается более чем уместной. Однако, можно доказать, что данную поправку можно и не применять, если использовать несколько отличный способ рассчета порога: [29].

Замечание 10.6. В выводе 10.3 было доказано, что в случае, когда имеет место равенство:

.

Однако из выражения (10.19), а также теоремы 10.4 можно увидеть, что при имеет место строгое неравенство:

.

Замечание 10.7. Константа в определении порога (10.31) может быть выражена посредством параметров . Очевидно, данная константа не зависит от параметров . Не будем, между тем, останавливаться на детальном обсуждении формы выражения (10.31), оставив данную обязанность на главу 11.

Замечание 10.8. Предположение, высказанное применительно к скейлинг-функции в теореме 10.4, честно говоря, является общим: так, например, данное предположение может быть удовлетворено в том случае, если скейлинг-функция является ограниченной, имеет компактный носитель, причем ограниченными являются также ее производные . Известно, что такие предположения выполняются для большинства известных вейвлетов высоких порядков: Добеши, койфлетов, симмлетов (см. главу 7).

Собирая воедино результаты теорем 10.3, 104, а также замечаний 10.5, 10.6, можно ответить на вопросы 10.1, 10.5:

  • оптимальная скорость сходимости в классе Бесова есть

    1. в регулярном случае ;

    2. в пространственном случае ;

    3. существует некоторая неопределенность на границе : здесь скорость сходимости определяется как , при этом проблема поиска поправки остается открытой.

  • вейвлет-оценка (10.12) достигает оптимальной скорости сходимости (в ряде случаев при введении некоторой поправки).

Доказательство теоремы 10.4 легко отыскать в книге [43], поэтому в данном месте его приводить не имеет смысла. Обратимся лучше к специальному случаю поиска предела риска: приводимые выкладки позволят сформулировать основные этапы доказательства следующего утверждения.

Положим, что

, (10.32)
, (10.33)
(10.34)

для достаточно больших значений С.

Как видно, совокупность условий (10.32) подразумевает, что и, следовательно, исследование проводится в промежуточной зоне. Тогда, можно утверждать, что нижняя граница минимаксного риска в свете теоремы 10.3 имеет вид:

.

Следующее утверждение показывает, что наличие поправочного коэффициента не изменяет асимптотического характера поведения вейвлет-оценки.

Утверждение 10.3. Положим, представляет собой оценку (10.12) такую, что

  • скейлинг-функция и вейвлет-функция являются ограниченными и имеют компактный носитель, при этом для некоторого целого все также являются ограниченными;

  • при условии использования порога ,

  • утверждения (10.29)-(10.31) удовлетворены полностью для .

    Тогда для всякого имеет место следующее утверждение:

    ,

    в котором .

    Доказательство. Прежде всего отметим, что выбор порога не оказывает большого влияния на оценку в виду того обстоятельства, что для всяких существуют константы : (данный факт будет использован в заключении доказательства.

    Покажем также, что функции являются ограниченными: , причем данная константа зависит лишь от . Кстати говоря, из констант может быть составлена последовательность в при всех (вывод 9.2). Кроме того, отметим, что в виду , можно получить:

    (10.35)

    где . Заметим также, что , причем здесь представляет собой максимальную длину носителя скейлинг- и вейвлет-функций (см. замечание 10.1).

    Члены суммы (10.35) определяются следующим образом. Во-первых, ввиду утверждения 10.1 и выражения (10.33) имеет место факт:

    . (10.36)

    Положения 1, 3 вывода 9.2 позволяют получить, что для всех , причем . Таким образом, всякая функция , принадлежащая в , также принадлежит в . Следовательно, согласно теореме 9.6, можно заключить, что коэффициенты детализации функции удовлетворяют условию В3:

    .

    Далее,

    (10.37)

    при использовании (10.33).

    Оценивание осуществляется следующим образом:

    ,

    .

    Отметим при этом, что

    , (10.38)

    ,

    а также, что в случае, когда , то , . Следовательно,

    . (10.39)

    Используя выражения (10.38), (10.39), можно получить следующее:

    (10.40)

    Ясно, что

    .

    Более того, использование неравенства Маркова позволяет также показать, что

    ,

    и, следовательно,

    (10.41)

    что видно из выражений (10.32), (10.33), а также условия

    , (10.42)

    вытекающего из того факта, что и теоремы 9.6.

    Далее, поскольку , имеет место следующее:

    (10.43)

    Обозначим теперь через последний член выражения (10.40) и посмотрим, что:

    Используя неравенство Коши-Шварца, можно записать следующий результат:

    (10.44)

    Лемма 10.3 (Неравенство Бернштейна). Положим, представляют собой случайные числа такие, что их , . Тогда

    для любого .

    Применяя лемму 10.3 к выражению , а также принимая во внимание тот факт, что , можно заключить, что для всякого достаточно большого

    .

    Подставляя данное выражение в формулу (10.47), получим следующий результат:

    , (10.45)

    в котором , о чем упомянуто в начале доказательства.

    Окончание доказательства утверждения сводится к простому объединению выражений (10.35) - (10.37), (10.40), (10.41), а также (10.43) - (10.45).

    В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


  • О получении локальных копий сайтов
      I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
      II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
    На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
    E-mail: info@matlab.ru   
      Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
    Наши баннеры  

     

    Rambler's Top100    TopList