Раздел "Обработка сигналов и
изображений\Wavelet Toolbox"
"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод
К.А.Алексеева)
\
Приложения.
А. Вейвлет-коэффициенты
В приведенной ниже таблице даны коэффициенты вейвлетов db2, db4,…,
db20, sym4, sym5, …, sym10, coif1, coif2, …, coif5 (правила отыскания их
коэффициентов в таблице см. в параграфе 12.6).
1 |
0 |
. |
482963 |
75 |
0 |
. |
133197 |
149 |
-0 |
. |
140047 |
223 |
-0 |
. |
00182321 |
2 |
0 |
. |
836516 |
76 |
-0 |
. |
293274 |
150 |
-0 |
. |
107808 |
224 |
-0 |
. |
000720549 |
3 |
0 |
. |
224144 |
77 |
-0 |
. |
0968408 |
151 |
0 |
. |
00401024 |
225 |
-0 |
. |
00379351 |
4 |
-0 |
. |
12941 |
78 |
0 |
. |
148541 |
152 |
0 |
. |
0102682 |
226 |
0 |
. |
0077826 |
5 |
0 |
. |
332671 |
79 |
0 |
. |
0307257 |
153 |
0 |
. |
00188995 |
227 |
0 |
. |
0234527 |
6 |
0 |
. |
806892 |
80 |
-0 |
. |
0676328 |
154 |
-0 |
. |
000302921 |
228 |
-0 |
. |
0657719 |
7 |
0 |
. |
459878 |
81 |
0 |
. |
000250947 |
155 |
-0 |
. |
0149523 |
229 |
-0 |
. |
0611234 |
8 |
-0 |
. |
135011 |
82 |
0 |
. |
0223617 |
156 |
0 |
. |
00380875 |
230 |
0 |
. |
405177 |
9 |
-0 |
. |
0854423 |
83 |
-0 |
. |
0047232 |
157 |
0 |
. |
0491372 |
231 |
0 |
. |
793777 |
10 |
0 |
. |
0352263 |
84 |
-0 |
. |
0042815 |
158 |
-0 |
. |
027219 |
232 |
0 |
. |
428483 |
11 |
0 |
. |
230378 |
85 |
0 |
. |
00184765 |
159 |
-0 |
. |
0519458 |
233 |
-0 |
. |
0717998 |
12 |
0 |
. |
714847 |
86 |
0 |
. |
000230386 |
160 |
0 |
. |
364442 |
234 |
-0 |
. |
0823019 |
13 |
0 |
. |
630881 |
87 |
-0 |
. |
000251963 |
161 |
0 |
. |
777186 |
235 |
0 |
. |
034555 |
14 |
-0 |
. |
0279838 |
88 |
3 |
. |
934732e-005 |
162 |
0 |
. |
48136 |
236 |
0 |
. |
0158805 |
15 |
-0 |
. |
187035 |
89 |
0 |
. |
0266701 |
163 |
-0 |
. |
0612734 |
237 |
-0 |
. |
00900798 |
16 |
0 |
. |
0308414 |
90 |
0 |
. |
188177 |
164 |
-0 |
. |
143294 |
238 |
-0 |
. |
00257452 |
17 |
0 |
. |
032883 |
91 |
0 |
. |
527201 |
165 |
0 |
. |
00760749 |
239 |
0 |
. |
00111752 |
18 |
-0 |
. |
0105974 |
92 |
0 |
. |
688459 |
166 |
0 |
. |
0316951 |
240 |
0 |
. |
000466217 |
19 |
0 |
. |
160102 |
93 |
0 |
. |
281172 |
167 |
-0 |
. |
000542132 |
241 |
-7 |
. |
09833e-005 |
20 |
0 |
. |
603829 |
94 |
-0 |
. |
249846 |
168 |
-0 |
. |
00338242 |
242 |
-3 |
. |
459977e-005 |
21 |
0 |
. |
724309 |
95 |
-0 |
. |
195946 |
169 |
0 |
. |
00106949 |
243 |
0 |
. |
000892314 |
22 |
0 |
. |
138428 |
96 |
0 |
. |
127369 |
170 |
-0 |
. |
000473154 |
244 |
-0 |
. |
00162949 |
23 |
-0 |
. |
242295 |
97 |
0 |
. |
0930574 |
171 |
-0 |
. |
0102641 |
245 |
-0 |
. |
00734617 |
24 |
-0 |
. |
03224 |
98 |
-0 |
. |
0713941 |
172 |
0 |
. |
00885927 |
246 |
0 |
. |
0160689 |
25 |
0 |
. |
0775715 |
99 |
-0 |
. |
0294575 |
173 |
0 |
. |
0620778 |
247 |
0 |
. |
0266823 |
26 |
-0 |
. |
00624149 |
100 |
0 |
. |
0332127 |
174 |
-0 |
. |
0182338 |
248 |
-0 |
. |
0812667 |
27 |
-0 |
. |
0125808 |
101 |
0 |
. |
00360655 |
175 |
-0 |
. |
191551 |
249 |
-0 |
. |
0560773 |
28 |
0 |
. |
00333573 |
102 |
-0 |
. |
0107332 |
176 |
0 |
. |
0324441 |
250 |
0 |
. |
415308 |
29 |
0 |
. |
111541 |
103 |
0 |
. |
00139535 |
177 |
0 |
. |
617338 |
251 |
0 |
. |
782239 |
30 |
0 |
. |
494624 |
104 |
0 |
. |
00199241 |
178 |
0 |
. |
717897 |
252 |
0 |
. |
434386 |
31 |
0 |
. |
751134 |
105 |
-0 |
. |
000685857 |
179 |
0 |
. |
238761 |
253 |
-0 |
. |
0666275 |
32 |
0 |
. |
31525 |
106 |
-0 |
. |
000116467 |
180 |
-0 |
. |
054569 |
254 |
-0 |
. |
0962204 |
33 |
-0 |
. |
226265 |
107 |
9 |
. |
358867e-005 |
181 |
0 |
. |
000583463 |
255 |
0 |
. |
0393344 |
34 |
-0 |
. |
129767 |
108 |
-1 |
. |
32642e-005 |
182 |
0 |
. |
0302249 |
256 |
0 |
. |
0250823 |
35 |
0 |
. |
0975016 |
109 |
-0 |
. |
0757657 |
183 |
-0 |
. |
0115282 |
257 |
-0 |
. |
0152117 |
36 |
0 |
. |
0275229 |
110 |
-0 |
. |
0296355 |
184 |
-0 |
. |
013272 |
258 |
-0 |
. |
00565829 |
37 |
-0 |
. |
031582 |
111 |
0 |
. |
497619 |
185 |
0 |
. |
000619781 |
259 |
0 |
. |
00375144 |
38 |
0 |
. |
000553842 |
112 |
0 |
. |
803739 |
186 |
0 |
. |
00140092 |
260 |
0 |
. |
00126656 |
39 |
0 |
. |
00477726 |
113 |
0 |
. |
297858 |
187 |
0 |
. |
00077016 |
261 |
-0 |
. |
000589021 |
40 |
-0 |
. |
0010773 |
114 |
-0 |
. |
0992195 |
188 |
9 |
. |
563267e-005 |
262 |
-0 |
. |
000259975 |
41 |
0 |
. |
0778521 |
115 |
-0 |
. |
012604 |
189 |
-0 |
. |
00864133 |
263 |
6 |
. |
233903e-005 |
42 |
0 |
. |
396539 |
116 |
0 |
. |
0322231 |
190 |
-0 |
. |
00146538 |
264 |
3 |
. |
122988e-005 |
43 |
0 |
. |
729132 |
117 |
0 |
. |
0273331 |
191 |
0 |
. |
0459272 |
265 |
-3 |
. |
25968e-006 |
44 |
0 |
. |
469782 |
118 |
0 |
. |
0295195 |
192 |
0 |
. |
0116099 |
266 |
-1 |
. |
784985e-006 |
45 |
-0 |
. |
143906 |
119 |
-0 |
. |
0391342 |
193 |
-0 |
. |
159494 |
267 |
-0 |
. |
000212081 |
46 |
-0 |
. |
224036 |
120 |
0 |
. |
199398 |
194 |
-0 |
. |
0708805 |
268 |
0 |
. |
00035859 |
47 |
0 |
. |
0713092 |
121 |
0 |
. |
723408 |
195 |
0 |
. |
471691 |
269 |
0 |
. |
00217824 |
48 |
0 |
. |
0806126 |
122 |
0 |
. |
633979 |
196 |
0 |
. |
76951 |
270 |
-0 |
. |
00415936 |
49 |
-0 |
. |
0380299 |
123 |
0 |
. |
0166021 |
197 |
0 |
. |
383827 |
271 |
-0 |
. |
0101311 |
50 |
-0 |
. |
0165745 |
124 |
-0 |
. |
175328 |
198 |
-0 |
. |
0355367 |
272 |
0 |
. |
0234082 |
51 |
0 |
. |
012551 |
125 |
-0 |
. |
0211018 |
199 |
-0 |
. |
0319901 |
273 |
0 |
. |
028168 |
52 |
0 |
. |
00042957 |
126 |
0 |
. |
0195389 |
200 |
0 |
. |
049995 |
274 |
-0 |
. |
09192 |
53 |
-0 |
. |
0018016 |
127 |
0 |
. |
0154041 |
201 |
0 |
. |
00576491 |
275 |
-0 |
. |
0520432 |
54 |
0 |
. |
00035371 |
128 |
0 |
. |
00349071 |
202 |
-0 |
. |
0203549 |
276 |
0 |
. |
421566 |
55 |
0 |
. |
0544158 |
129 |
-0 |
. |
11799 |
203 |
-0 |
. |
000804359 |
277 |
0 |
. |
77429 |
56 |
0 |
. |
312872 |
130 |
-0 |
. |
0483117 |
204 |
0 |
. |
00459317 |
278 |
0 |
. |
437992 |
57 |
0 |
. |
675631 |
131 |
0 |
. |
491055 |
205 |
5 |
. |
703608e-005 |
279 |
-0 |
. |
062036 |
58 |
0 |
. |
585355 |
132 |
0 |
. |
787641 |
206 |
-0 |
. |
000459329 |
280 |
-0 |
. |
105574 |
59 |
-0 |
. |
0158291 |
133 |
0 |
. |
337929 |
207 |
-0 |
. |
0727326 |
281 |
0 |
. |
0412892 |
60 |
-0 |
. |
284016 |
134 |
-0 |
. |
0726375 |
208 |
0 |
. |
337898 |
282 |
0 |
. |
0326836 |
61 |
0 |
. |
000472485 |
135 |
-0 |
. |
0210603 |
209 |
0 |
. |
852572 |
283 |
-0 |
. |
0197618 |
62 |
0 |
. |
128747 |
136 |
0 |
. |
0447249 |
210 |
0 |
. |
384865 |
284 |
-0 |
. |
00916423 |
63 |
-0 |
. |
0173693 |
137 |
0 |
. |
00176771 |
211 |
-0 |
. |
072733 |
285 |
0 |
. |
00676419 |
64 |
-0 |
. |
0440883 |
138 |
-0 |
. |
00780071 |
212 |
-0 |
. |
0156557 |
286 |
0 |
. |
00243337 |
65 |
0 |
. |
013981 |
139 |
0 |
. |
00268181 |
213 |
0 |
. |
0163873 |
287 |
-0 |
. |
00166286 |
66 |
0 |
. |
00874609 |
140 |
-0 |
. |
00104738 |
214 |
-0 |
. |
0414649 |
288 |
-0 |
. |
000638131 |
67 |
-0 |
. |
00487035 |
141 |
-0 |
. |
0126363 |
215 |
-0 |
. |
0673726 |
289 |
0 |
. |
00030226 |
68 |
0 |
. |
000039174 |
142 |
0 |
. |
0305155 |
216 |
0 |
. |
38611 |
290 |
0 |
. |
000140541 |
69 |
0 |
. |
000675449 |
143 |
0 |
. |
0678927 |
217 |
0 |
. |
812724 |
291 |
-4 |
. |
134043e-005 |
70 |
-0 |
. |
000117477 |
144 |
-0 |
. |
0495528 |
218 |
0 |
. |
417005 |
292 |
-2 |
. |
131503e-005 |
71 |
0 |
. |
0380779 |
145 |
0 |
. |
0174413 |
219 |
-0 |
. |
0764886 |
293 |
3 |
. |
734655e-006 |
72 |
0 |
. |
243835 |
146 |
0 |
. |
536102 |
220 |
-0 |
. |
0594344 |
294 |
2 |
. |
063762e-006 |
73 |
0 |
. |
604823 |
147 |
0 |
. |
767764 |
221 |
0 |
. |
0236802 |
295 |
-1 |
. |
674429e-007 |
74 |
0 |
. |
657288 |
148 |
0 |
. |
28863 |
222 |
0 |
. |
00561143 |
296 |
-9 |
. |
517657e-008 |
В. Где найти Софт?
По всем вопросам, касающимся приобретения XploRe, обращайтесь по адресу
xplore@netcologne.de или
GfKI - Gesselschaft fur Kommunikation and Information
Mauritiussteinweg, 2
D-50676, Koln
Germany
Fax: +492219233906
Вопросы использования данного продукта, рассылку (подписание на нее и
отписку) можно получить, послав соответствующие запросы на
stat@wiwi.hu-berlin.de, xplore@wiwi.hu-berlinm.de.
Программы, результаты работы которых париведены в настоящей книге,
распространяются свободно: http://wotan.wiwi.hu-berlin.de
C. Неравенства Бернштейна и Розенталя
Основной задачей данного приложения является приведение простого
доказательства неравенств Бернштейна и Розенталя. Более детально данный
вопрос обсуждается в работах [60, 91, 129, 131].
Доказательства основаны на следующей лемме:
Лемма С1. Положим, есть
независимые случайные значения такие, что , . Тогда для всякого имеет
место неравенство:
, (С.1)
где .
Доказательство.
Рассмотрим функцию

Совершенно ясно, что функция является неубывающей и при этом
для любых . Данное свойство может быть легко доказано рассмотрением
производной функции, которая равна при , а также доказательством того факта, что содержимое
скобок производной имеет тот же знак, что и аргумент.
Используя неравенство Маркова и свойство независимости , для
произвольных имеем:
.
Далее, видно, что

,
поскольку . Таким образом, в силу того, что для всех
неотрицательных u, имеем в итоге:
,
используя монотонность функции Ф.
Далее становится ясным, что
.
Поскольку значение t может быть произвольным, оптимизируем
данное неравенство, принимая t таким, чтобы
.
□
Докажем теперь следующий результат, известный как неравенство
Бернштейна [129, 131].
Теорема С1. В силу предположений, сделанных в лемме С1,
для всякого имеет место неравенство
.
Доказательство. Достаточно показать, что в неравенстве
(С.1) функция может быть заменена функцией
.
Иначе говоря, следует доказать, что
.
Данное доказательство очевидно, поскольку , , .
□
Приводимый ниже вывод является следствием теоремы С1.
Вывод С1.
1. В том случае, если есть
независимые значения переменной, , , тогда
.
2. В том случае, если ,
и , тогда
.
Перейдем в данном месте к доказательству неравенства Розенталя
[134].
Теорема С2. Положим, что ,
есть независимые случайные значения такие, что . Тогда
существует функция такая, что
. (С.2)
Замечание С1. Данное неравенство представляет собой
обобщение классических выпуклых неравенств, справедливых для :
.
Доказательство. Воспользуемся леммой С1 и заменим в
данном случае на , что по
принимаемым значениям существенно меньше для любых
неотрицательных t. Зафиксируем произвольное число и
рассмотрим произвольные случайные числа . Тогда
и, следовательно,
.
Кроме того, из леммы С1 следует, что
.
Используя данное неравенство, для всякого положительного имеем:


. (С.3)
Аналогичным образом можно получить:
 . (С.4)
Объединяя неравенства (С.3), (С.4), а также полагая, что ,
имеем:
 .
Теперь, для случая можно
записать:

 
, (С.5)
причем в выражении сделана подстановка . Для
того, чтобы закончить доказательство, остается выбрать значение
таким образом, чтобы правая часть неравенства была сходящейся. При таком
условии выбора неравенство (С.5) переходит в (С.2), причем
.
□
\ |