Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".

Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

5. Основные положения теории вейвлет-функций

5.1. Когда имеет место вейвлет-разложение?

Сформулируем в виде следующих вопросов главные условия существования вейвлет-разложения (3.5).

Вопрос 5.1. На основании каких фактов можно утверждать, что является ортонормированной системой в ?

Вопрос 5.2. Какие условия являются достаточными для существования (3.1)?

Вопрос 5.3. Какие условия определяют справедливость (3.2), т.е. при каких обстоятельствах плотно в ?

Вопрос 5.4. Каким образом можно найти функцию такую, что есть ортонормированный базис пространства ?

Будем отвечать на данные вопросы в порядке их следования; так, ответом на вопрос 5.1 является лемма 5.1.

Лемма 5.1. Система функций является ортонормированной в тогда и только тогда, когда

. (5.1)

Доказательство. Полагая, что , где , на основании выражения (4.8) можно записать:

.

Известно, что условие ортогональности базисных функций выражается интегралом вида:

,

где – функция Дирака:

.

Значит, выражение для функции может быть записано как:

.

Принимая во внимание вид интеграла Фурье, а также замечание 4.1 о разложении в ряд периодических функций, запишем выражение для прямого преобразования Фурье функции :

.

Обратимся к рассмотрению вопроса 5.2, в котором необходимо исследовать причины вложенности пространств .

Утверждение 5.1. Пространства являются вложенными , при условии, что существует -периодическая функция такая, что

. (5.2)

Для доказательства данного утверждения представляется достаточным рассмотрение случая . Тогда, полагая, что и, значит, по определению пространства , что есть базис пространства , можно заключить следующее: существует последовательность коэффициентов , рассчитываемых на основании выражения

,

причем , для которых выражение

(5.3)

является справедливым.

Найдем образы Фурье левой и правой частей данного выражения, для чего воспользуемся свойствами (4.5), (4.6) преобразования Фурье:

,

при этом .

Необходимо отметить, что функция является -периодической функцией.

Лемма 5.2. Положим, что представляет собой ортонормированный базис в . Тогда для всякой -периодической функции , удовлетворяющей условию (5.2), имеет место равенство:

.

Доказательство. На основании выражения (5.2) можно записать, что

.

Принимая во внимание то обстоятельство, что система по формулировке леммы является ортонормированной и при этом есть -периодическая функция в , произведем следующие выкладки:

.

Следствие. Функция занимает ограниченную полосу частот.

Теперь нетрудно видеть, что пространство (спектральный аналог пространства ) представляет собой пространство, образованное функциями , тогда как пространство – соответственно, функциями . Иначе говоря, условие, записываемое в виде (5.2), подразумевает следующее: всякая функция может быть записана в виде , причем . Дело в том, что произведение являет собой также -периодическую функцию, поскольку и занимает на основании леммы 5.2 ограниченную полосу частот.

Замечание 5.1. Ответ на вопрос 5.3 будет рассмотрен позже: в частности, в гл. 8 будет показано, что плотно в при выполнении условий (5.1), (5.2). В то же время, доказательство того, что , можно найти в работе [24, теорема 1.1].

Ответ на вопрос 5.4 можно сформулировать в виде леммы 5.3.

Лемма 5.3. В том случае, если представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как -периодическую функцию из , удовлетворяющую условию (5.2), обратное преобразование Фурье образа

, (5.4)

в котором , есть функция вейвлет.

Замечание 5.2. Иначе говоря, лемма 5.3 утверждает, что является ортонормированным базисом пространства .

Доказательство настоящей леммы состоит из трех этапов.

1. Система функций является ортонормированной, т.е. можно утверждать, что

на основании леммы 5.1.

Действительно, в свете доказанной ранее леммы 5.2 и того обстоятельства, что функция является -периодической, нетрудно видеть, что

.

2. Система функций является ортогональной системе , т.е. .

Здесь достаточно показать, что для любого или, что то же самое, , где и ; при этом образ Фурье функции имеет вид:

.

Применим формулу суммирования Пуассона (теорема 4.1) к функции и докажем, что

. (5.5)

Используя для этого определение вейвлет-функции, данное в лемме 5.3, а также выражение (5.2), записанное для образа Фурье скейлинг-функции, произведем выкладки:

.

Таким образом, представляется необходимым доказать следующее:

. (5.6)

Однако данное доказательство является очевидным:

.

3. Всякая функция , взятая в пространстве , может быть разложена по базису , единственным образом:

,

причем , представляют собой коэффициенты разложения такие, что , .

Действительно, всякая функция имеет единственное разложение по базису пространства (здесь ). При этом в частотной области такое разложение может быть выражено произведением (утверждение 5.1):

, (5.7)

в котором .

Обратимся на некоторое время к выведению выражения, играющего важную роль в теории вейвлет-анализа. Для этого умножим правую и левую части выражений (5.2), (5.4) на сопряженные функции , :

,

,

а также просуммируем полученные выражения:

. (5.8)

В силу того обстоятельства, что , получим результате окончательное выражение для :

.

Подставляя данное выражение в выражение (5.7), записанное для образа Фурье функции ,

,

после отыскания обратного преобразования Фурье получим во временной области разложение функции по базису , .

Замечание 5.3. Лемма 5.3 является справедливой также для более общих случаев задания функции :

,

в которой есть произвольная -периодическая функция такая, что . Однако доказательство леммы 5.3 для случая введения такой функции оставим читателю в качестве упражнения.

5.2. О том, как строить вейвлеты

Перед непосредственным переходом к практическим аспектам построения вейвлет-функций, подведем некоторые итоги ответам на вопросы 5.1 – 5.4, данным в предыдущем параграфе.

Вывод 1. Знание скейлинг-функции и, следовательно, ее Фурье-образа позволяет на основании лемм 5.2, 5.3 построить материнскую вейвлет-функцию . Действительно, из выражения (5.2) следует, что

,

тогда как из выражения (5.4) –

. (5.9)

Обратное преобразование Фурье функции позволяет, таким образом, построить материнскую вейвлет-функцию.

Вывод 2. Из ответов на вопросы, приведенные в предыдущем параграфе, между тем, остаётся неясным принцип построения скейлинг-функций. Однако ряд выражений, полученных ранее, способен прояснить решение данного вопроса:

,

,

;

здесь являет собой -периодическую функцию, взятую в пространстве .

Как будет показано далее (утверждение 8.6), одним из необходимых условий построения скейлинг-функций является также равенство , приводящее к тому, что , следующее из выражения (5.2). Теперь, добавляя данное условие к перечисленным выше, запишем набор соотношений, обеспечивающих достаточные условия построения скейлинг- и вейвлет-функций в частотной области:

, (5.10)

, (5.11)

, (5.12)

причем – суть -периодическая функция, для которой .

Лемма 5.4. Вейвлет-функция во временной области удовлетворяет соотношению вида

, (5.13)

в котором , тогда как скейлинг-функция – соотношению вида

, (5.14)

а также условиям

(5.15)

Доказательство леммы начнем с выведения выражения, необходимого для дальнейших выкладок:

,

причем .

Подставляя полученное выражение в выражение (5.9), записанное для образа Фурье вейвлет-функции, получим:

.

Обратное преобразование Фурье данного выражения позволяет определить общий вид вейвлет-функции во временной области.

Вторым этапом доказательства леммы является проверка справедливости первого утверждения системы (5.15), показывающего ортогональность скейлинг-функций, заданных коэффициентами . Нетрудно догадаться, что данное утверждение является временным аналогом равенства

.

Действительно, подставляя в данное равенство выражения для и , полученные ранее, имеем:

.

Отметим, что справедливость второго утверждения, входящего в систему (5.15), является очевидной в силу условия . Действительно, в этом легко убедиться, проделав несложные выкладки:

.

5.3. Дополнительные замечания

Замечание 5.4. Коэффициенты , имеющие место в выражении (5.13), в ряде литературных источников определяются несколько отличными способами, например, . Действительно, возможность введения в функции (см. замечание 5.4) отражает тот факт, что материнская вейвлет-функция не является единственно возможной для заданного скейлинга.

Замечание 5.5. Выражение (5.12) позволяет заключить, что и, следовательно,

. (5.16)

Данный вывод свидетельствует в пользу того факта, что

(5.17)

и, как результат,

. (5.18)

Здесь необходимо отметить, что нулевой момент скейлинг-функции : напротив, будем утверждать, что для всех скейлинг-функций, рассмотренных ранее и конструируемых далее (см. гл. 8).

Между тем, вопрос о возможности построения скейлинг-функции по заданной функции вейвлет – обратная задача синтеза –оставим открытым. Скажем лишь, что в постановке: и – ответ на вопрос о построении скейлинг-функции является отрицательным. Правда, попытки решения данной задачи, предпринятые в работах [7, 93, 94], дают положительный ответ на данный вопрос, однако при этом добавляют ряд условий, накладываемых на регулярность вейвлета.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList