![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Выход | ![]() |
Ваш Login: "prodav". |
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox" "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева) В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу 5. Основные положения теории вейвлет-функций 5.1. Когда имеет место вейвлет-разложение? Сформулируем в виде следующих вопросов главные условия существования вейвлет-разложения (3.5). Вопрос 5.1. На основании каких фактов можно утверждать, что Вопрос 5.2. Какие условия являются достаточными для существования (3.1)? Вопрос 5.3. Какие условия определяют справедливость (3.2), т.е. при каких обстоятельствах Вопрос 5.4. Каким образом можно найти функцию Будем отвечать на данные вопросы в порядке их следования; так, ответом на вопрос 5.1 является лемма 5.1. Лемма 5.1. Система функций
Доказательство. Полагая, что
Известно, что условие ортогональности базисных функций выражается интегралом вида:
где
Значит, выражение для функции
Принимая во внимание вид интеграла Фурье, а также замечание 4.1 о разложении в ряд периодических функций, запишем выражение для прямого преобразования Фурье функции
Обратимся к рассмотрению вопроса 5.2, в котором необходимо исследовать причины вложенности пространств Утверждение 5.1. Пространства
Для доказательства данного утверждения представляется достаточным рассмотрение случая
причем
является справедливым. Найдем образы Фурье левой и правой частей данного выражения, для чего воспользуемся свойствами (4.5), (4.6) преобразования Фурье:
при этом Необходимо отметить, что функция Лемма 5.2. Положим, что
Доказательство. На основании выражения (5.2) можно записать, что
Принимая во внимание то обстоятельство, что система
Следствие. Функция Теперь нетрудно видеть, что пространство Замечание 5.1. Ответ на вопрос 5.3 будет рассмотрен позже: в частности, в гл. 8 будет показано, что Ответ на вопрос 5.4 можно сформулировать в виде леммы 5.3. Лемма 5.3. В том случае, если
в котором Замечание 5.2. Иначе говоря, лемма 5.3 утверждает, что Доказательство настоящей леммы состоит из трех этапов. 1. Система функций на основании леммы 5.1. Действительно, в свете доказанной ранее леммы 5.2 и того обстоятельства, что функция
2. Система функций Здесь достаточно показать, что
Применим формулу суммирования Пуассона (теорема 4.1) к функции
Используя для этого определение вейвлет-функции, данное в лемме 5.3, а также выражение (5.2), записанное для образа Фурье скейлинг-функции, произведем выкладки:
Таким образом, представляется необходимым доказать следующее:
Однако данное доказательство является очевидным:
3. Всякая функция
причем Действительно, всякая функция
в котором Обратимся на некоторое время к выведению выражения, играющего важную роль в теории вейвлет-анализа. Для этого умножим правую и левую части выражений (5.2), (5.4) на сопряженные функции
а также просуммируем полученные выражения:
В силу того обстоятельства, что
Подставляя данное выражение в выражение (5.7), записанное для образа Фурье функции
после отыскания обратного преобразования Фурье получим во временной области разложение функции Замечание 5.3. Лемма 5.3 является справедливой также для более общих случаев задания функции
в которой 5.2. О том, как строить вейвлеты Перед непосредственным переходом к практическим аспектам построения вейвлет-функций, подведем некоторые итоги ответам на вопросы 5.1 – 5.4, данным в предыдущем параграфе. Вывод 1. Знание скейлинг-функции
тогда как из выражения (5.4) –
Обратное преобразование Фурье функции Вывод 2. Из ответов на вопросы, приведенные в предыдущем параграфе, между тем, остаётся неясным принцип построения скейлинг-функций. Однако ряд выражений, полученных ранее, способен прояснить решение данного вопроса:
здесь Как будет показано далее (утверждение 8.6), одним из необходимых условий построения скейлинг-функций является также равенство
причем Лемма 5.4. Вейвлет-функция во временной области удовлетворяет соотношению вида
в котором
а также условиям
Доказательство леммы начнем с выведения выражения, необходимого для дальнейших выкладок:
причем Подставляя полученное выражение в выражение (5.9), записанное для образа Фурье вейвлет-функции, получим:
Обратное преобразование Фурье данного выражения позволяет определить общий вид вейвлет-функции во временной области†. Вторым этапом доказательства леммы является проверка справедливости первого утверждения системы (5.15), показывающего ортогональность скейлинг-функций, заданных коэффициентами
Действительно, подставляя в данное равенство выражения для
Отметим, что справедливость второго утверждения, входящего в систему (5.15), является очевидной в силу условия
5.3. Дополнительные замечания Замечание 5.4. Коэффициенты Замечание 5.5. Выражение (5.12) позволяет заключить, что
Данный вывод свидетельствует в пользу того факта, что
и, как результат,
Здесь необходимо отметить, что нулевой момент скейлинг-функции Между тем, вопрос о возможности построения скейлинг-функции по заданной функции вейвлет – обратная задача синтеза –оставим открытым. Скажем лишь, что в постановке: В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу |
|