Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".

Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

6. Синтез базисов скейлинг- и вейвлет-функций

В предыдущей главе были описаны общие принципы построения материнской вейвлет-функции по заданному скейлингу, а также введены условия принадлежности функций , классам скейлинг- и вейвлет-функций соответственно. Кроме того, были рассмотрены также условия, обеспечивающие свойство ортогональности базисов анализа и, вместе с тем, механизм организации негомогенного разложения (3.5).

Содержание настоящей главы посвящено двум методикам построения скейлинг- и вейвлет-функций, из которых первая основана на использовании базиса Рисса как отправной точки построения, тогда как вторая – на использовании функции .

Более подробное освещение проблемы построения скейлинг-функций, а также необходимый математический формализм можно найти в работах [21, 22, 24, 28, 75, 82, 83, 106, 150].

6.1. Синтез функций с использованием базиса Рисса

Определение 6.1. Система функций таких, что , является базисом Рисса, если существуют положительные константы , для которых справедливо неравенство:

,

причем , .

Иначе говоря, норма функции, рассчитываемая в пространстве , т.е. при разложении функции по базису Рисса, является эквивалентной норме её спектрального образа, рассчитываемой в . Заметим, что поведение базиса при этом лишь напоминает поведение ортонормированного базиса.

Утверждение 6.1. Положим, существует некоторая функция . Данная функция порождает базис Рисса тогда, когда можно найти такие константы , для которых справедливо неравенство:

. (6.1)

Отметим, что функция в данном случае носит название -функции.

Доказательство. Используя равенство Парсеваля (4.4), а также тот факт, что ряд

является периодическим, произведем следующие выкладки:

.

Как видно, нормы функции во временной и частотной областях являются эквивалентными: в том случае, если условие (6.1) выполняется, функция порождает базис Рисса (доказательство обратного утверждения приведено в Приложении D).

Перейдем непосредственно к вопросу синтеза скейлинг-функций, для чего подчеркнем, что основная идея здесь состоит в выборе -функции и последующей ортогонализации образуемого ей базиса. Действительно, как было показано ранее, -функция порождает базис Рисса, однако условию ортогональности удовлетворяет далеко не всегда.

Лемма 6.1. Положим, что является -функцией, порождающей базис Рисса. Тогда посредством нормирования

можно построить ортонормированный базис .

Доказательство. Используя равенство Парсеваля (4.4), а также тот факт, что , можно записать:

.

Пример 6.1. В качестве общего примера построения скейлинг-функций с использованием базиса Рисса рассмотрим следующую задачу.

Положим, некоторая -функция может быть задана последовательностью сверток , в которой . Нетрудно догадаться, что функция в данном случае представляет собой В-сплайн порядка : отвлекаясь от выражения, характеризующего данную функцию в свертках, можно указать также выражение, обеспечивающее более простой способ расчета сплайна:

. (6.2)

Как видно, данный способ подразумевает использование оператора разности:

.

Найдем образ Фурье функции :

и, используя свойство (4.7) преобразования Фурье свертки, получим:

. (6.3)

Умножая правую и левую части выражения (6.3) на , т.е. проводя операцию дифференцирования во временной области, после отыскания обратного преобразования Фурье запишем результирующее выражение:

.

Можно показать также, что

.

Действительно, полагая функцию равной , после итераций легко увидеть справедливость выражения (6.2). Кроме того, становится ясным следующее обстоятельство: носитель функции , как отчетливо видно из рис. 6.1, растет с увеличением порядка , при этом можно записать, что .

Рис. 6.1.

В-сплайны первого и второго порядков как функции базиса Рисса

При рассмотрении рисунка нетрудно догадаться, что случай соответствует заданию скейлинг-функции Хаара, тогда как случай обеспечивает синтез кусочно-линейного В-сплайна, именуемого также hat-функцией.

Утверждение 6.2. В-сплайн порождает базис Рисса при любом значении .

Доказательство. С целью доказательства данного утверждения достаточно показать, что ряд имеет равномерную сходимость к некоторой ограниченной функции.

Действительно, ввиду того, что ряд является периодическим с периодом , для любого значения можно составить оценку сверху:

.

Как видно, данная оценка свидетельствует о том, что ряд сходится для всех , причем .

Отыскание оценки снизу может быть разделено на два этапа, из которых первый соответствует случаю (функция является убывающей на сегменте ):

, (6.4)

тогда как второй – случаю :

при условии, что произведена замена переменной , .

Таким образом, можно сказать, что ряд сходится для всех , причем .

Построим в качестве частного примера, иллюстрирующего принцип синтеза скейлинг-функций с использованием базиса Рисса, скейлинг-функцию Лемарье-Бэттла. С этой целью рассмотрим В-сплайн второго порядка; его образ Фурье имеет вид:

,

причем, согласно работе [28],

.

Подставим выражения, записанные для и , в выражение для :

.

Отметим, полученный образ Фурье являет собой частотный аналог скейлинг-функции Лемарье-Бэттла.

Введем обозначение:

и перепишем выражение для в виде бесконечной суммы:

.

Тогда, очевидно, обратное преобразование Фурье данного выражения имеет вид:

;

данная функция представляет собой скейлинг Лемарье-Бэттла.

Рис. 6.2. Скейлинг Лемарье-Бэттла для случая .

Перечислим кратко основные свойства полученной скейлинг-функции:

  • симметричность , вытекающая из того факта, что является четной функцией;
  • кусочная линейность, следующая из того, что функция обладает аналогичным свойством;
, т.е. функция не имеет компактного носителя (см. рис. 6.2).

Реализация процедуры синтеза материнской вейвлет-функции Лемарье-Бэттла, как видно из нижеприведенных выкладок, не вызывает затруднений:

,

,

.

Однако отыскание обратного преобразования Фурье функции возможно лишь численно; правда, данное обстоятельство не мешает указать свойства вейвлет-функции Лемарье-Бэттла:

  • симметричность относительно точки ;
  • кусочная линейность (по аналогии со скейлинг-функцией вейвлет Лемарье-Бэттла также может быть записан в виде суммы );
, т.е. вейвлет не имеет компактного носителя.

Материнская вейвлет-функция Лемарье-Бэттла приведена на рис. 6.3. Отметим, что вейвлеты, полученные для случаев обладают большей гладкостью, однако их вид остаётся сходным с видом вейвлета, построенного для случая .

Рис. 6.3 Вейвлет Лемарье-Бэттла для случая .

6.2. Синтез функций с использованием

Как видно, основной недостаток подхода, состоящего в использовании для построения скейлинг- и, следовательно, вейвлет-функций базиса Рисса, состоит в невозможности синтеза функций, обладающих компактным носителем (исключение здесь составляет базис Хаара). Дело в том, что наличие у функций компактного носителя является весьма желательным с вычислительной точки зрения. Подход, использующий функцию для построения базисных скейлинг- и вейвлет-функций, позволяет удовлетворить упомянутое желание.

Рассмотрим функцию , введенную с помощью выражения (5.12). На основании свойства (5.2) легко записать, что

Продолжая далее процесс разложения на множители и предполагая, что (см. п. 5.2, а также замечание 5.5), нетрудно видеть, что

. (6.5)

Иначе говоря, данное выражение являет собой основу для построения скейлинг-функций, однако, вместе с тем предполагает также знание ответов на следующие вопросы.

Вопрос 6.1. В каких случаях бесконечное произведение (6.5) сходится?

Вопрос 6.2. В том случае, если произведение (6.5) сходится, можно ли утверждать, что функция ?

Вопрос 6.3. Полагая, что скейлинг-функция может быть построена с использованием произведения (6.5), является ли система ортонормированной?

Докажем лемму 6.2, которая позволяет дать ответ на первый из поставленных вопросов.

Лемма 6.2. Положим, что функция является непрерывной по Липшицу. Тогда произведение (6.5) обладает свойством равномерной сходимости на всяком компакте .

Доказательство. Ввиду того обстоятельства, что , нетрудно записать, что

,

причем

для всех (здесь α представляет собой экспоненту Липшица).

Говоря о функции , необходимо подчеркнуть, что данная функция может рассматриваться как некоторый тригонометрический полином

, (6.6)

в котором суть некоторые константы. Нетрудно видеть, что при и, следовательно,

, (6.7)

причем обратное утверждение также является справедливым. Приведем в связи с этим лемму 6.3, позволяющую ответить на вопросы 6.2, 6.3.

Лемма 6.3. Положим, что функция , заданная в форме (6.6), удовлетворяет условию (6.7), а также условию

. (6.8)

Потребуем, кроме того, существование компакта , содержащего точку 0, такого, что

1). ,

2). для всех и .

Тогда функция , записываемая в виде (6.5), суть образ Фурье функции , удовлетворяющей условиям:

a). ,

b). есть ортонормированная система в .

Доказательство данной леммы (леммы Коэна) можно найти в работах [24, 28], поэтому в данном место его приведение не является целесообразным.

Замечание 6.1. Условия 1, 2, накладываемые на функции и , как нетрудно заметить, могут быть выполнены в том случае, если и .

Переписывая теперь выражение (6.8) с использованием множества коэффициентов , можно заметить, что существует два условия, накладываемых на функцию и необходимых для синтеза скейлинг-функций, –речь идет здесь о выражениях (6.6), (6.7). Между тем, вопрос о выборе коэффициентов остаётся открытым. Во-первых, данные коэффициенты должны удовлетворять условию компактности носителя скейлинг-функции; во-вторых, коэффициенты должны обеспечивать заданное число вырожденных моментов и, как следствие, число непрерывных производных функций , . Как будет показано в гл. 8, число вырожденных моментов является весьма важной характеристикой: данная характеристика является основополагающей в задаче приближения функций рядами вейвлет.

Лемма 6.4, следующая далее, позволяет ответить на вопрос о выборе коэффициентов , гарантирующих наличие определенного числа вырожденных моментов у функций , .

Лемма 6.4. Положим, условия, перечисленные в формулировке леммы 6.3, полностью удовлетворены и

(6.9)

для всех . Тогда для функции и выполняется также равенство

. (6.10)

Доказательство. Равенство (6.9) подразумевает то обстоятельство, что для всех . Следовательно, можно утверждать, что

(6.11)

также для всех в виду того, что . Иначе говоря, функция является раз дифференцируемой в точке : как результат, функция имеет компактный носитель, при этом .

Переходя к рассмотрению вопроса применительно к вейвлет-функции, образ Фурье которой имеет вид

,

можно сказать, что

. (6.12)

Лемма 6.5. Положим, что условия, перечисленные в формулировке леммы 6.3, полностью удовлетворяются. Тогда функция , причем её носитель

. (6.13)

В том случае, если равенство

(6.14)

выполняется для всех , то

(6.15)

также для всех .

Доказательство. Во-первых, будем утверждать, что на основании того факта, что согласно лемме 6.4 и выражения (6.12).

Во-вторых, справедливость выражения (6.13) является очевидной при рассмотрении неравенств

(6.16)

записанных на основании того, что . Перепишем данные неравенства в виде или, что то же самое,

.

В третьих, нетрудно догадаться, что выражение (6.15) является эквивалентом выражения

, (6.17)

записанного для всех . Дело в том, что вейвлет-функция в образах Фурье может быть записана в виде:

, (6.18)

где . Полагая, что при , справедливость неравенства (6.17) становится очевидной.

Замечание 6.2. Равенство нулю моментов (6.14), записанных для порядков , является справедливым в том случае, если степень полинома оказывается большей в сравнении с . Обеспечение функций , желаемым числом непрерывных производных основывается на априорном существовании некоторого числа вырожденных моментов функций , .

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList