Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".

Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

3. Пространства скейлинг- и вейвлет-функций

3.1. Многомасштабный анализ

Ранее было показано, что система функций Хаара не обеспечивает удовлетворительных результатов аппроксимации гладких функций. Действительно, нетрудно доказать тот факт, что коэффициенты разложения гладкой функции в ряд по базису Хаара убывают достаточно медленно и аппроксимация претерпевает разрывы в некотором числе точек.

Пусть представляет собой некоторую функцию из такую, что множество её трансляций образует ортонормированный базис в . Считая для всех , , положим, что является ортонормированным базисом пространства , т.е. всякая функция , взятая в данном пространстве, может быть разложена по базису как

;

что является базисом пространства , т.е., соответственно, всякая функция , взятая в пространстве , может быть разложена по базису , и т.д. Иначе говоря, замыкания линейных оболочек, порождаемых всевозможными комбинациями функции , образуют для каждого последовательность пространств таких, что

(3.1)

и

всюду плотно в . (3.2)

В главе 2 показано, что система базисных функций Хаара удовлетворяет условиям (3.1), (3.2).

Определение 3.1. Пусть образует ортонормированную систему функций в пространстве . Тогда разложение функции по базисам пространств называется многомасштабным анализом в .

Отметим полноты ради, что понятие многомасштабного анализа введено С.Малла и И.Мейером в конце 80-х годов (подробнее о многомасштабной природе вейвлет-анализа см. в работах [101, 104, 106]). Связь между многомасштабным анализом и вопросом аппроксимации функций будет обсуждаться детально в гл. 8, 9.

Определение 3.2. В том случае, если является последовательностью пространств многомасштабного анализа в , функция порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.

Предположим, что последовательность представляет собой последовательность пространств многомасштабного анализа в . Определим пространство как дополнение пространства до пространства , т.е. . Тогда, подобно случаю с базисом Хаара, можно утверждать, что

и условие (3.1) выполняется. Нетрудно догадаться, что в пределе при

. (3.3)

Развивая данную мысль, запишем также следующее:

.

Данное выражение означает, что всякая функция , взятая в Гильбертовом пространстве, может быть представлена в виде ряда, сходящегося в :

. (3.4)

Здесь , представляют собой коэффициенты разложения функции по базисам , , причем является базисом пространств .

Необходимо отметить, что между функциями , введенными в данной главе и главе 2, существует некоторое различие: в то время, как функция (2.2) имеет жесткое определение разрывной функции Хаара, функция, стоящая в выражении (3.4), представляет в общем случае одну из базисных функций пространства .

Таким образом, выражение (3.4) являет собой ничто иное, как многомасштабное разложение функции , причем уровень разложения здесь задается с использованием пространства . Действительно, построение спектра Фурье функции подразумевает разложение данной функции в ряд на единственном уровне; число уровней разложения многомасштабного анализа определяется числом пространств , используемых для анализа. Отметим в заключение, что понятие уровня разложения включает, помимо прочего, обозначение пространства , образованного функциями , коэффициенты разложения функции по базису пространства , а также, собственно, функции данного пространства.

3.2. Построение систем вейвлет-функций

Основные принципы построения систем вейвлет-функций в общем случае выглядят следующим образом:

  1. Выбор скейлинг-функции такой, что представляет собой ортогональную систему в , удовлетворяющую условиям (3.1), (3.2) и позволяющую осуществлять в гильбертовом пространстве многомасштабный анализ;
  2. Построение вейвлет-функции , ортогональной скейлинг-функции ; при этом формирует базис пространства .
  3. Заключение того факта, что функция , взятая в гильбертовом пространстве, может быть разложена единственным образом в ряд, сходящийся в :

;

при этом коэффициенты ряда отыскиваются следующим образом:

,

.

Отметим, выражение (3.4) представляет собой негомогенное разложение функции : с целью гомогенизации структуры ряда представляется целесообразным разложение по вейвлет-функциям в виде:

.

Говоря о разложении (3.4), необходимо обратить внимание также на то обстоятельство, что коэффициенты разложения обеспечивают информацией об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты – коэффициенты детализации – информацией о деталях общей формы.

Использование базиса для негомогенного представления функции в пространствах , , в общем, является опциональным. Так, в качестве пространства скейлинг-функций может выступать пространство , где , приводящее разложение (3.4) к виду:

. (3.5)

Очевидно, коэффициенты разложения в ряд по скейлинг-функциям в данном случае могут быть рассчитаны следующим образом:

.

Отметим, принятие здесь и далее (вплоть до гл. 9) тезиса о том, что , является всего лишь упрощением.

Одним из следствий, возникающих при рассмотрении негомогенного разложения функции , является возможность осуществления ортогонального проецирования функции на пространство :

. (3.6)

3.3 Пример

Одним из классических примеров построения многомасштабного анализа в гильбертовом пространстве, помимо анализа в базисе функций Хаара, может служить анализ с использованием идеальных интерполяторов Котельникова. Полагая, что функции из гильбертова пространства в пространстве удовлетворяют условию

,

где суть образ Фурье функции , можно сформулировать теорему, используемую в задачах обработки сигналов (см., например, работe [125]).

Теорема 3.1. Функция может быть восстановлена по совокупности ее дискретных значений тогда и только тогда, когда частота ее дискретизации по меньшей мере вдвое превышает частоту наивысшей гармоники функции:

.

Из формулировки теоремы видно, что пространство образуют функции вида:

, (3.7)

образ Фурье которых .

Нетрудно видеть, что совокупность трансляций формирует ортонормированный базис и, следовательно, позволяет осуществлять многомасштабный анализ в . Другими словами, функция, записанная в виде (3.7), являет собой скейлинг-функцию, тогда как пространство , связанное с ней, представляет пространство, функции которого имеют образ Фурье с носителем, заключенным в пределах . Вообще говоря, пространство объединяет функции, обладающие достаточной регулярностью: как станет ясным из гл. 8, 9, проецирование функции на пространство может быть интерпретировано как сглаживание.

Отметим также, что коэффициенты разложения функции в ряд по базису (3.7) представляют собой ничто иное, как дискретные отсчеты данной функции. Использование отсчетов в качестве спектральных коэффициентов, по большому счету, представляется обстоятельством редким, однако, как будет показано в п. 7.2), существует возможность построения таких вейвлет-функций, например, койфлетов, разложение по базису которых сводится к интерполяции.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList