Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".

Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

8. Аппроксимация в базисе вейвлет

8.1. Введение

Настоящая глава посвящена исследованию аппроксимирующих свойств вейвлет-функций в пространствах Соболева: в частности, в главе рассматривается вопрос сходимости вейвлет-приближений к функциям при условии, что данные функции принадлежат пространству Соболева. Вопрос сходимости исследуется также в главе 9, где предполагается, что аппроксимация принадлежит пространству Бесова и при этом имеет тесную взаимосвязь с приближениями в базисе вейвлет. Отметим, содержание настоящей и последующих глав является более формализованным по сравнению с содержанием предыдущих глав. Можно сказать, главы предназначены для читателя, имеющего известную математическую подготовку, а также читателя, желающего познать сущность вейвлет-анализа более полно.

Глава открывается введением в рассмотрение аппроксимирующих ядер в пространствах Соболева, а также доказательством теоремы, утверждающей следующее: в том случае, если функция принадлежит пространству Соболева и при этом ядро аппроксимации удовлетворят некоторому условию моментов, тогда аппроксимация данной функции обладает наперед заданной точностью. Как продолжение сказанному в главе утверждается также обратное: для аппроксимации, обладающей известной сходимостью, ядро аппроксимации удовлетворяет некоторому условию моментов. Таким образом, целью настоящей главы является исследование условия, определяющего равенство нулю моментов аппроксимирующих ядер.

Прежде всего, ограничим рассмотрение классом периодических ядер, записываемых в общем случае следующим образом:

,

где есть функции, образующие ортонормированную систему . Как было сказано, аппроксимирующие свойства данных ядер обусловливаются выполнением условия моментов, которое в свою очередь, определяются свойствами функций, образующих данные ядра. Наконец, будем рассматривать в данном классе только те ядра, порождающими функциями которых являются скейлинг-функции .

Необходимые и достаточные условия, требуемые для выполнения условия моментов (теорема 8.3), а также теорема о вейвлет-приближении в пространствах Соболева (вывод 8.2) приводятся далее. Можно сказать, что упомянутые теорема и вывод являются главными результатами, рассматриваемыми в настоящей главе. Правда, помимо прочего, интересными и заслуживающими внимание здесь являются утверждение 8.6 и вывод 8.1, доказывающие, что при некоторых ограничениях, накладываемых на функцию (точнее, ограниченную скейлинг-функцию с компактным носителем), является плотным в L2(R), тогда как условия, предъявляемые к многомасштабному анализу в базисе скейлинг- и вейвлет-функций и остававшиеся в главах 3, 5 без доказательства, полностью удовлетворяются.

8.2. Пространства Соболева

Прежде всего рассмотрим в настоящем параграфе определение дифференцируемой функции. С этой целью обозначим через D(R) пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем и приведем ряд результатов в виде определений и утверждений, вводящих в понятие дифференцируемой функции.

Утверждение 8.1. Положим, функция представляет собой функцию действительной переменной, интегрируемую в любых пределах на R. Тогда следующие утверждения являются эквивалентными друг другу.

  1. Существует функция действительной переменной такая, что интеграл данной функции в пределах [a,b] есть

  2. Существует функция действительной переменной такая, что в любых пределах на R и для всякой функции выполняется равенство:

Определение 8.1. Функция , обладающая свойствами, перечисленными в утверждении 8.1, является дифференцируемой. Функция , определенная почти всюду на R, представляет собой производную функции .

Кроме того, отметим, что функция, дифференцируемая почти всюду, очевидно, является непрерывной на R за исключением некоторого множества точек.

Утверждение 8.2. Положим, существуют функции , , дифференцируемые всюду. Тогда их произведение также является дифференцируемым по правилу: .

Доказательство. Согласно теореме Фубини, для области интегрирования [a,b] имеем следующий результат:

.

Разделив область интегрирования на части:

,

после некоторых преобразований получим:

,

или, что то же самое:

.

Определение 8.2. Функция дифференцируема N раз, если существует N-1 производных данной функции. При этом подразумевается, что , , ..., являются непрерывными.

Замечание 8.1. В том случае, если функция является дифференцируемой всюду, для любых t и t имеет место равенство:

Используя формулу интегрирования по частям, легко доказать, что ряд Тейлора данной функции имеет вид:

.

Обратимся в данном месте к рассмотрению пространств Соболева - основного вопроса настоящего параграфа. Так, для нормы функции, принадлежащей гильбертову пространству,

имеет место следующее определение.

Определение 8.3. Функция из , в котором , , принадлежит пространству Соболева , если для всех или, что является вполне достаточным, . При этом в пространстве имеет место норма:

.

Очевидно, для функций, не дифференцируемых в .

Определение 8.4. Определим сопряженное пространство для всех , полагая, что

и является кусочно-непрерывной.

Нетрудно догадаться, что по аналогии с пространством , имеет место равенство для всех .

Замечание 8.2.. Определяя модуль непрерывности функции как

отметим, что тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

, (8.1)
, (8.2)

Более подробное введение в теорию пространств Соболева можно найти в работах [2, 8, 30, 145], к которым отсылаем читателя. В заключение приведем без доказательства лишь основные неравенства теории функциональных пространств.

Лемма 8.1 (обобщенное неравенство Минковского). Положим, функция является измеримой по Борелю для всех . Тогда имеет место следующее неравенство:

.

Лемма 8.2. Положим, что , и . Тогда имеет место неравенство:

.

Доказательство приводимых здесь лемм 8.1, 8.2 можно найти в работах [2, 8, 30, 145]. Отметим также, что лемма 8.2 являет собой следствие леммы 8.1.

8.3. Аппроксимирующие ядра

Идея использования аппроксимирующих ядер в задачах аппроксимации предложена в работе [52].

Определение 8.5. Положим, что функция , определенная на , представляет собой аппроксимирующее ядро. Тогда скалярное произведение измеримой функции и ядра есть аппроксимация функции в базисе скейлинг-функций:

  *,

при этом, как видно, ядро играет роль оператора аппроксимации. Кроме того, для всякого и достаточно просто показать, что при

.

В частности, при h=2-j имеем ядро, удовлетворяющее условиям многомасштабного анализа в базисе скейлинг-функций.

Рассмотрим ряд требований, предъявляемых к свойствам аппроксимирующих ядер и используемых в дальнейшем при решении задач аппроксимации в пространствах Соболева.

Требование Н (к размерности ядра). Существует интегрируемая функция F(t) такая, что для всех .

Требование Н(N). .

Требование Р (периодичности ядра). для всех .

Требование M(N) (условие моментов).
  **, (8.3)
где , .

Замечание 8.3. Требование "Н" подразумевает то обстоятельство, что для всех и имеет место неравенство:

, (8.4)

являющееся справедливым в свете лемм 8.1, 8.2.

Требование периодичности ядра, очевидно, может быть удовлетворено в том случае, если ядро представляет собой ядро свертки: .

Требование (8.3) можно рассматривать как действие оператором на полином P(t), степень которого не превышает N: ***.

8.4. Основная теорема аппроксимации в пространствах Соболева

Докажем теорему о сходимости аппроксимации к функции в гильбертовом пространстве дsля случая и .

Теорема 8.1. Положим, что представляет собой аппроксимирующее ядро. Тогда:

1). в том случае, если данное ядро удовлетворяет условию M(N) и , норма при для любого значения ;

2). в том случае, если данное ядро удовлетворяет условиям M(N) и H(N+1) и , норма является ограниченной при для любого значения ;

3). в том случае, если данное ядро удовлетворяет условиям P и H(N) и при этом существует нетривиальная функция такая, что для любого значения и , ядро также удовлетворяет условию моментов M(N).

Доказательство. Введем в рассмотрение следующие функции:

,

,

в которых , и укажем на их существование при условии, то ядро удовлетворяет условию H(N).

Запишем ряд Тейлора для функции :

,

полагая, что остаточный член данного ряда при N=0 имеет вид , тогда как для других N1 может быть записан следующим образом:

,

Подставляя данное выражение в выражение для аппроксимации данной функции, имеем:

. (8.5)

1). Итак, в том случае, если ядро удовлетворяет условию M(N) и при этом аппроксимируемая функция , тогда, очевидно, для всех . Опираясь на данное обстоятельство, можно показать, что выражение (8.5) в итоге сводится к следующему:

.

Вводя обозначение и принимая во внимание утверждение леммы 8.1, нетрудно показать, что

при .

2). Положим в данном месте, что и ядро удовлетворяет условиям M(N), H(N+1). Тогда по аналогии с предыдущим случаем имеем:

и, следовательно,

при .

3). Условие периодичности, накладываемое на аппроксимирующее ядро, подразумевает, что функции , также являются периодическими с периодом, равным 1. Поскольку , очевидно, что

для всех . Следовательно,

и, как результат, , , ..., .

Лемма 8.3 [2, 8, 145]. Существуют ограниченная функция с периодом, равным 1, и функция такие, что

Доказательство. С целью доказательства данной леммы предположим, что функция является дифференцируемой почти всюду, при этом ее носитель . Тогда

.

где . Очевидно, полагая и , нетрудно догадаться, что .

Лемма 8.4. Положим, что представляет собой ограниченную функцию с периодом, равным 1, и . В том случае, если существует функция такая, что и

. (8.6)

при , то =0 почти всюду.

Доказательство. Рассмотрим функцию при условии, что и . Обозначая через ck коэффициенты Фурье функции , в свете леммы 8.3 имеем:

. (8.7)

при .

Очевидно, интеграл, стоящий в левой части выражения (8.7), согласно неравенству Гёльдера не превышает . Кроме того, данный интеграл стремится к нулю при , что, в свою очередь, предполагает выполнение равенства ck=0. Наконец, можно утверждать, что =0 почти всюду, если положить, что .

Итак, части 1), 2) доказательства теоремы 8.1 позволяют определить скорость сходимости аппроксимации к функции при условии, что является регулярной и удовлетворят условию моментов. В то же время, часть 3) доказательства показывает, что условие моментов является решающим для обеспечения хороших аппроксимирующих свойств ядра . Отметим, исследование данного вопроса имеет продолжение в пункте 8.6 настоящей главы.

Замечание 8.4. В том случае, если ядро удовлетворяет лишь условию M(0), тогда при для всех . Данное утверждение является справедливым также для случая и того обстоятельства, что представляет собой кусочно-непрерывную функцию. Дело в том, что для всех , тогда как пространство есть пространство кусочно-непрерывных ограниченных функций.

В том случае, если имеет место аппроксимация функции , сходимость к является достаточно медленной. Действительно, для всякой функции имеет место следующее обстоятельство:

,

где . Однако ввиду того факта, что сопряженное ядро также удовлетворяет условию моментов M(0), согласно теореме 8.1 . Иначе говоря, для всякой функции имеет место следующее равенство:

при .

8.5. Операторы ортогональной проекции и их связь с аппроксимирующими ядрами

Определим для произвольной функции оператор ее ортогональной проекции на пространство V0

. (8.8)

(здесь есть аппроксимация функции ) и покажем, что в пространстве с ортонормированным базисом скейлинг-функций данный проектор может быть охарактеризован следующим выражением:

. (8.9)

Условие существования -функции. Существует функция такая, что ее . При этом в том случае, если функция удовлетворяет данному условию, причем , -функция является периодической с периодом, равным 1, и

. (8.10)

Иначе говоря,

. (8.11)

Таким образом, условие существования -функции показывает, что скейлинг-функция может принадлежать пространству L1(R) и, кроме того, что не менее важно, должна иметь компактный носитель. Например, данное условие не распространяется на функции типа , не обладающие компактным носителем.

Утверждение 8.3.В том случае, если функция удовлетворяет условию существования -функции, тогда для всякой последовательности с конечной нормой и любых и q таких, что , имеют место следующие неравенства:

, (8.12)
. (8.13)

Кроме того, если при этом функция являет собой скейлинг-функцию, тогда

, (8.14)
, (8.15)
где , .

Доказательство.Прежде всего, покажем, что при имеет место следующее обстоятельство: и, следовательно, тот факт, что ряд сходится почти всюду. Тогда, производя нижеследующие выкладки

с использованием неравенства Гёльдера можно показать, что

Нетрудно видеть, что данные выкладки доказывают справедливость неравенства (8.12) для случая . Возможность доказать данное неравенство для более простого случая оставим читателю.

Справедливость выражения (8.13) может быть показана посредством нормирования выражения (8.12).

Доказательство справедливости неравенства, имеющего место в правой части (8.14) не имеет смысла, поскольку полностью повторяет доказательство справедливости (8.12). В свою очередь, с целью доказательства неравенства, стоящего в левой части (8.14), достаточно вспомнить, что и . Тогда

,

,

,

,

где .

Аналогично предыдущему случаю данное доказательство приводится в данном месте для случая . Как и ранее, оставляем возможность доказать справедливость утверждения в случае читателю.

Наконец, упомянем, что неравенство (8.15) является нормированной версией неравенства (8.14).

Переходя к доказательству следующего утверждения, отметим, что существование функции подразумевает то обстоятельство, что функция обладает энергией, сконцентрированной на некотором финитном интервале. При этом оператор может быть заменён оператором с периодическим ядром.

Утверждение 8.5. Существует скейлинг-функция , удовлетворяющая условию существования , такая, что = для всякой .

Доказательство. Согласно неравенству Коши-Шварца†† имеют место следующие выкладки:

,

Следовательно, по теореме Фубини, имеем:


Весьма важным следствием приводимого здесь утверждения является тот факт, что в свете условия существования -функции оператор может быть заменен оператором также в других пространствах Lp(R), в которых : сказанное также является справедливым, поскольку выполняется неравенство

для всех .

Определение 8.7 ядра ортогонального проецирования. В том случае, если функция удовлетворяет условию существования -функции, ядро является ядром ортогонального проецирования, ассоциированного с функцией .

Замечание 8.5. Ядро ортогонального проецирования удовлетворяет требованию периодичности, т.е. само является периодическим.

8.6. Условие моментов для проецирующих ядер

В настоящем параграфе исследуем свойства скейлинг-функции, необходимые для достижения ядром

условия моментов M(N). С этой целью сформулируем свойства скейлинг-функций, позволяющие требовать ограниченности ядра.

Требование S ограниченности. Существует ограниченная невозрастающая функция такая, что

и

.

Требование S(N) (ограниченности при заданном числе вырожденных моментов). В том случае, если требование S выполняется, имеет место также неравенство

Лемма 8.5. Условие существования -функции следует непосредственно из условия S.

Доказательство. . Поскольку функция является периодической с периодом, равным 1, условие её существования удовлетворяется при

. (8.16)

Однако, если предполагать, что , то для любого значения имеет место неравенство . Следовательно, можно заключить, что также для всех и .

Теперь, принимая во внимание условие S, видно:

почти для всех , причем

. (8.17)

Лемма 8.6. В том случае, если скейлинг-функция удовлетворяет условию S, ядро удовлетворяет неравенству

почти всюду для положительных C1, C2.

Доказательство. Используя факт монотонности функции , запишем для любого следующие выкладки:

(8.18)

считая, что . В связи с тем, что функция также является монотонной, используя выражения (8.17) и (8.18), можно записать:

(8.19)
Представим переменные в виде сумм

,

,

в которых и , тогда как . Теперь, положив , запишем:
(8.20)

используя выражение (8.19) и тот факт, что и .

Возьмём для дальнейшего доказательства число такое, что :

. (8.21)
Действительно, в том случае, если , видно, что , тогда как в силу монотонности функции -

.

Используя доказательство леммы 8.6, легко увидеть, что условие S(N), накладываемое на число вырожденных моментов ядра при требовании его ограниченности, удовлетворяется в равной с условием H(N) степени. Математически это выражается следующим образом:

,

,

для всех

Утверждение 8.5. Положим, скейлинг-функция удовлетворяет условию S(N) для некоторого N0, причем . Тогда ядро удовлетворяет условиям P и H(N) и имеют место следующие обстоятельства:

1) для всех

2) Выражения

, (8.22)
, (8.23)
(8.24)

являются эквивалентными для всех , и При этом подразумевается, что

(8.25)

и

, (8.26)

где для всех

3) Ядро удовлетворяет условию моментов тогда и только тогда, когда выполняется равенство (8.24) и при этом , .

4) В том случае, если скейлинг-функция удовлетворяет условию S, ядро удовлетворяет условию M(0), причем и наоборот для всех .

Доказательство.

1) Для доказательства первого утверждения воспользуемся биномом:

.

2) Итак, как следует из приведенного доказательства, выражение (8.23) вытекает из выражения (8.22), причем обратное доказывается по индукции. Действительно, в том случае, если равенство (8.23) является справедливым, имеет место равенство , из которого следует, что для всех .

Остаётся показать эквивалентность выражений (8.22) и (8.24). Согласно свойству преобразования Фурье (4.9), можно записать, что

,

причем

. (8.27)

Применяя к данному выражению формулу суммирования Пуассона, получим:

(8.28)
.

Отметим, что выражение (8.24) является эквивалентным выражению

. (8.29)

справедливому для всех и . Однако условие (8.29) выполняется тогда и только тогда, когда Cl(t) представляет собой константу при .

С целью доказательства того факта, что выражение (8.25) вытекает из выражения (8.23), рассмотрим выражение (8.28) при k=0. В этом случае

,

С другой стороны, имеет место равенство , что и даёт основание утверждать об эквивалентности выражений (8.25) и (8.23).

Справедливость выражения (8.26) видно из следующего доказательства:

(8.30)
.

3) Условие моментов, выражаемое в виде (8.3), можно переписать следующим образом:

, . (8.31)

Перепишем выражения (8.31) с учетом (8.26):

, (8.32)
,

полагая, что . Свойство (4.8) преобразования Фурье гласит, что , в силу чего можно утверждать, что выражение (8.32) является эквивалентным выражению , . Сказанное подразумевает то обстоятельство, что выражение (8.3) является справедливым тогда и только тогда, когда является истинным (8.23) и , . Наконец, для завершения доказательства достаточно отметить, что выражение (8.24) вытекает из выражения (8.23).

4) Доказательство данного утверждения является очевидным.

В заключении главы рассмотрим небольшое замечание, относящееся к условию моментов и его выполнению для простейшего ядра свертки.

Замечание 8.6. В том случае, если представляет собой ядро свертки и при этом , оно удовлетворяет условию моментов M(N):

,

при и наоборот.





Примечания переводчика.

* , где есть коэффициенты аппроксимации функции , т.е. коэффициенты разложения функции по базису , - аппроксимация функции в базисе скейлинг-функций.

** , где представляют собой моменты скейлинг-функции порядков . При этом достаточно вспомнить, что , тогда как для всех .

*** Действительно, аппроксимация полинома, осуществляемая по его отсчетам, взятым в точках и при этом представляющим собой ни что иное, как коэффициенты разложения в базисе , в итоге совпадает с исходным полиномом P(t).

Неравенство Гёльдера имеет вид: . При дробь заменяется на 1.

†† Неравенство Коши-Шварца является следствием неравенства Гёльдера: .

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList