Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

10. Статистические приложения вейвлет-функций

10.7 Сравнительный анализ с ядерными оценками

Оценивание плотностей с использованием техники ядер имеет достаточно долгую историю в задачах сглаживания данных, в связи с чем представляет интерес для сравнительного исследования своих возможностей с возможностями вейвлет-технологий. Прежде всего покажем, что ядерная оценка плотности может быть определена следующим образом [136]:

(10.46)

Воспользуемся фрагментом данных длиной , функция плотности которых имеет вид:

(10.47)

причем в данном контексте обозначает нормальную плотность распределения (см. рис. 10.21).

Рис. 10.21: Трехмодальная функция плотности,

данные анализа (изображены знаком +)

Ранее были исследованы 7 различных методов выбора значения параметра , приведенных в [126]; результаты данный изысканий сведены в таблицу 10.3 для случая гауссова ядра, а также ядра, построенного с использованием выражения (квадратического ядра).

Таблица 10.3. Сравнительный анализ методов выбора (для данных, представленных на рис. 10.21)

Метод выбора

Гауссово ядро

Квадрати-ческое ядро

Наименьших квадратов

0.067

0.175

Смещенной оценки

0.4

1.049

Сглаженной оценки

0.387

1.015

Факторизации

0.299

0.786

Парка-Марона

0.232

0.608

Шетера-Джонса

0.191

0.503

Правило Сильвермана

0.45

1.18

Рис. 10.22: Функции плотности, оцененные с использованием 2 различных типов

На рис. 10.22 представлены результаты оценивания плотности для случаев и (пунктир), рассчитанных с использованием квадратического ядра. Как видно, использование квадратического ядра оставляет неопределенным выбор параметра , который оказывается либо слишком малым, либо слишком большим. Дело в том, что достаточно точное моделирование левой стороны функции на рисунке ухудшается полным сглаживанием мод правой стороны (случай ). Задание меньшего значения () приводит к весьма точному описанию двух правых мод функции, вводя в ее левую часть ложные лепестки.

На рис. 10.23 показаны оценки плотности, синтезированные с использованием вейвлет-анализа (трешолдинга с жесткой функцией пороговой обработки). Наивысший уровень разложения данных в данном случае принят равным 8 (пунктир). Значение порога здесь составляет 0.4 максимального (в глобальном смысле) по модулю коэффициента детализации разложения. Значение параметра выбрано равным также 0.4 (см. таблицу 10.3). Из рисунка видно, что вейвлет-оценка позволяет совместно отражать наличие выраженных мод в правой части функции, а также пологой моды в ее левой части. Причем более корректное моделирование наблюдается при использовании мягкого порога (см. рис. 10.24).

Рис. 10.23: Функция плотности, ее ядерная вейвлет-оценка, а также оценка, полученная с использованием жесткого трешолдинга.

Рис. 10.24. Функция плотности, ее ядерная вейвлет-оценка, а также оценка, полученная с использованием мягкого трешолдинга

Отметим, что интегральная квадратическая ошибка моделирования с использованием квадратического ядра составила 0.019, тогда как ошибка моделирования с использованием жесткого трешолдинга 0.0099 против 00.63, полученных при использовании мягкого порога.

В завершение можно сказать, что даже самое поверхностное исследование показало отсутствие локальной адаптивности квадратических ядерных оценок даже при использовании сложных методик выбора значения параметра . Вейвлет-оценки имеют более корректный характер, хотя, между тем, позволяют себе некоторую вариативность (как, например, на рис. 10.24). Таким образом, квадратические ядра могут быть полезны при анализе данных, обладающих достаточно простым характером распределения. Локальный анализ, подразумевающий обеспечение хороших аппроксимирующих свойств оценок, требует использования вейвлет-анализа.

Оценивание функций плотности прибылей

Для заданной последовательности финансовых данных, например, цен на акции, определим первые разности логарифмов значений , а именно: и назовем их прибылью. Как правило, в статистическом анализе финансовых рядов значения прибыли считаются распределенными в соответствии гауссовым законом. Данное предположение является достаточно полезным в случае построения моделей на основе критерия максимального правдоподобия [59]. Другая причина использования предположения о гауссовости финансовых рядов состоит в том, что традиционно принятые модели равновесия, введенные в [100, 135], являются квадратичными. Иначе говоря, такие модели зависят от двух моментов распределения прибыли. Таким образом, предположение о нормальности распределения при неизменной дисперсии ряда в условиях произвольного ценообразования является определяющим.

Между тем, в литературе, опубликованной в последнее время, положение о нормальности подвергалось известной критике: в частности, подчеркивалось, что нормальность не отражает фактического положения дел в финансовых рядах таких, например, как обмен валют: в распределении излишни хвосты, имеют место весьма слабая концентрация в центре, многомодальность, соответствующая различным фазисам торгов.

Применим в данном примере технику вейвлет-оценивания для установления вопроса относительности нормальности и негауссовости распределения. Отметим, что данный пример ограничивается применением некоторых конкретных данных .

В первом примере рассмотрим данные, приведенные в [50] и содержащие величину прибыли акций IBM за период с июля 1963 года по июнь 1968, а также прибыли рыночного портфеля. Сравним эти два распределения.

На рис. 10.14 изображены данные о прибылях IBM, параметрическая нормальная оценка плотности, а также вейвлет-оценка, полученная с использованием мягкого трешолдинга, порог которого равен (в данном случае использован симмлет 4 порядка). Нормальная оценка вычислена с использованием среднего и СКО исходных данных. Отсутствие гауссовости данных отчетливо видно на вейвлет-оценке, о чем свидетельствуют моды различных периодов торгов. Как видно, нормальная оценка не способна отразить многомодальность структуры данных.

Рассмотрим следующий набор данных из указанного выше источника: рыночный портфель. С этой целью выберем тот же порог, уровень и тип вейвлета, использованные в первом примере. Из рис. 10.15 видно, что оценка является более близкой к нормальному закону. Дело в том, что большее приближенность оценки к нормальности достигается за счет использования гипотезы о квази-гауссовости статистик.

Обратимся теперь к рассмотрению обменного курса валют доллар США - немецкая марка, изображенного в верхней части рис. 10.16. Здесь отрезок времени наблюдения равен периоду наблюдений, представленных ранее на рис.1.1. В нижней части рисунка представлены оценки плотностей распределения прибылей. Как видно, распределение содержит весьма приземистые хвосты и четко выраженные центральные моды, причем нормальная оценка чересчур явственно отображает центральный пик и имеет более высокоподнятые хвосты за пределами области с единичным СКО.

Рис. 10.14 Оценка плотности прибылей IBM.

Использован мягкий трешолдинг с порогом

Рис. 10.15 Оценка рыночного портфеля.

Использован мягкий трешолдинг с порогом

Рис. 10.16 Сравнительный анализ оценок плотностей распределения прибылей обменных курсов.

Наверху - курс обмена валют, внизу - нормальная и вейвлет-оценка плотностей распределения

Оценивание плотностей доходов

В данном разделе займемся изучением объемов расходов, фиксируемых у некоторых частных домовладельцев Великобритании каждый год, начиная с 1957 года. Число наблюдаемых домовладельцев составляет примерно 7000 человек в год, что составляет 5% общего числа владельцев недвижимости в Великобритании. Исследуемый ряд представляет собой детальную информацию о домовладениях, их размер, месторасположение, год постройки, материал постройки и т.д.

Поскольку теория спроса, описанная, например, в работе [74], подразумевает, прежде всего, анализ структуры и величины доходов, главным предметом приложения теории является стабильность распределения доходов во времени. Рассмотрим оценки плотностей распределения объемов доходов за период времени, соответствующий 1969-1983 г.г. Ранние попытки построения оценок основывались на предположении о логнормальности распределения [74]. Правда, такое параметрическое предположение не позволяет отражать возможные изменения в доходной части бюджета, наблюдавшиеся особенно в эпоху правления М.Тетчер, и, в частности, исключаемую возможность многомодальности.

Оцениваемые плотности построены с использованием симмлета 4 порядка, мягкого трешолдинга с порогом, равным . На рис. 10.17 показаны жанные оценки, рассчитанные для первых 1969-1972 гг. Эти, а также следующие оценки рассчитаны для нормированных доходов, полученных соотнесением их к среднему значению. Первые два года наблюдения являются одномодальными и антисимметричными, тогда как плотность, соответствующая 1971 г., показывает сосредоточение 80%-части доходов в левом плече распределения. Данный эффект исчезает постепенно к 1972 году, появляясь вновь в 1973, 1975 гг. (см. рис. 10.18). Пик, наблюдаемый радом со средним значением на протяжении первых 8 лет исследования, уменьшается в последние 7 лет. На рис. 10.19 изображены одномодальные плотности, а также вариации значений мод плотностей, наблюдаемые вплоть до 1983 г. (см. 10.20). Набор всех 15 плотностей распределения показан в нижней правой части рис. 10.20. Итак, глядя на непараметрический вейвлет-анализ, можно видеть сдвиг в распределении доходов с абсциссы, равной 1, в точку 0.8.

Рис. 10.17 Распределение доходов в 1969-1972 гг.

Рис. 10.18.Распределение доходов в 1973-1976 гг.

Рис. 10.19 Плотности распределения доходов в 1977-1980 гг.

Рис. 10.20 Плотности распределения доходов в 1981-1983 гг., 1969-1983 гг.

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList