![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Выход | ![]() |
Ваш Login: "prodav". |
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox" "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева) В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу 6. Синтез базисов скейлинг- и вейвлет-функций В предыдущей главе были описаны общие принципы построения материнской вейвлет-функции по заданному скейлингу, а также введены условия принадлежности функций Содержание настоящей главы посвящено двум методикам построения скейлинг- и вейвлет-функций, из которых первая основана на использовании базиса Рисса как отправной точки построения, тогда как вторая – на использовании функции Более подробное освещение проблемы построения скейлинг-функций, а также необходимый математический формализм можно найти в работах [21, 22, 24, 28, 75, 82, 83, 106, 150]. 6.1. Синтез функций с использованием базиса Рисса Определение 6.1. Система функций
причем Иначе говоря, норма функции, рассчитываемая в пространстве Утверждение 6.1. Положим, существует некоторая функция
Отметим, что функция Доказательство. Используя равенство Парсеваля (4.4), а также тот факт, что ряд является периодическим, произведем следующие выкладки:
Как видно, нормы функции во временной и частотной областях являются эквивалентными: в том случае, если условие (6.1) выполняется, функция Перейдем непосредственно к вопросу синтеза скейлинг-функций, для чего подчеркнем, что основная идея здесь состоит в выборе Лемма 6.1. Положим, что можно построить ортонормированный базис Доказательство. Используя равенство Парсеваля (4.4), а также тот факт, что
Пример 6.1. В качестве общего примера построения скейлинг-функций с использованием базиса Рисса рассмотрим следующую задачу. Положим, некоторая
Как видно, данный способ подразумевает использование оператора разности:
Найдем образ Фурье функции и, используя свойство (4.7) преобразования Фурье свертки, получим:
Умножая правую и левую части выражения (6.3) на
Можно показать также, что
Действительно, полагая функцию Рис. 6.1. В-сплайны первого и второго порядков как функции базиса Рисса При рассмотрении рисунка нетрудно догадаться, что случай Утверждение 6.2. В-сплайн Доказательство. С целью доказательства данного утверждения достаточно показать, что ряд Действительно, ввиду того, что ряд является периодическим с периодом
Как видно, данная оценка свидетельствует о том, что ряд сходится для всех Отыскание оценки снизу может быть разделено на два этапа, из которых первый соответствует случаю
тогда как второй – случаю при условии, что произведена замена переменной Таким образом, можно сказать, что ряд сходится для всех Построим в качестве частного примера, иллюстрирующего принцип синтеза скейлинг-функций с использованием базиса Рисса, скейлинг-функцию Лемарье-Бэттла. С этой целью рассмотрим В-сплайн второго порядка; его образ Фурье имеет вид:
причем, согласно работе [28],
Подставим выражения, записанные для
Отметим, полученный образ Фурье являет собой частотный аналог скейлинг-функции Лемарье-Бэттла. Введем обозначение: и перепишем выражение для
Тогда, очевидно, обратное преобразование Фурье данного выражения имеет вид:
данная функция представляет собой скейлинг Лемарье-Бэттла. Рис. 6.2. Скейлинг Лемарье-Бэттла для случая Перечислим кратко основные свойства полученной скейлинг-функции:
Реализация процедуры синтеза материнской вейвлет-функции Лемарье-Бэттла, как видно из нижеприведенных выкладок, не вызывает затруднений:
Однако отыскание обратного преобразования Фурье функции
Материнская вейвлет-функция Лемарье-Бэттла приведена на рис. 6.3. Отметим, что вейвлеты, полученные для случаев Рис. 6.3 Вейвлет Лемарье-Бэттла для случая 6.2. Синтез функций с использованием Как видно, основной недостаток подхода, состоящего в использовании для построения скейлинг- и, следовательно, вейвлет-функций базиса Рисса, состоит в невозможности синтеза функций, обладающих компактным носителем (исключение здесь составляет базис Хаара). Дело в том, что наличие у функций компактного носителя является весьма желательным с вычислительной точки зрения. Подход, использующий функцию Рассмотрим функцию Продолжая далее процесс разложения на множители и предполагая, что
Иначе говоря, данное выражение являет собой основу для построения скейлинг-функций, однако, вместе с тем предполагает также знание ответов на следующие вопросы. Вопрос 6.1. В каких случаях бесконечное произведение (6.5) сходится? Вопрос 6.2. В том случае, если произведение (6.5) сходится, можно ли утверждать, что функция Вопрос 6.3. Полагая, что скейлинг-функция может быть построена с использованием произведения (6.5), является ли система Докажем лемму 6.2, которая позволяет дать ответ на первый из поставленных вопросов. Лемма 6.2. Положим, что функция Доказательство. Ввиду того обстоятельства, что
причем для всех □ Говоря о функции
в котором
причем обратное утверждение также является справедливым. Приведем в связи с этим лемму 6.3, позволяющую ответить на вопросы 6.2, 6.3. Лемма 6.3. Положим, что функция
Потребуем, кроме того, существование компакта 1). 2). Тогда функция a). b). Доказательство данной леммы (леммы Коэна) можно найти в работах [24, 28], поэтому в данном место его приведение не является целесообразным. □ Замечание 6.1. Условия 1, 2, накладываемые на функции Переписывая теперь выражение (6.8) с использованием множества коэффициентов Лемма 6.4, следующая далее, позволяет ответить на вопрос о выборе коэффициентов Лемма 6.4. Положим, условия, перечисленные в формулировке леммы 6.3, полностью удовлетворены и
для всех
Доказательство. Равенство (6.9) подразумевает то обстоятельство, что
также для всех □ Переходя к рассмотрению вопроса применительно к вейвлет-функции, образ Фурье которой имеет вид
можно сказать, что
Лемма 6.5. Положим, что условия, перечисленные в формулировке леммы 6.3, полностью удовлетворяются. Тогда функция
В том случае, если равенство
выполняется для всех
также для всех Доказательство. Во-первых, будем утверждать, что Во-вторых, справедливость выражения (6.13) является очевидной при рассмотрении неравенств
записанных на основании того, что
В третьих, нетрудно догадаться, что выражение (6.15) является эквивалентом выражения
записанного для всех
где □ Замечание 6.2. Равенство нулю моментов (6.14), записанных для порядков В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу |
|