![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Выход | ![]() |
Ваш Login: "prodav". |
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox" "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева) В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу 8. Аппроксимация в базисе вейвлет 8.1. Введение Настоящая глава посвящена исследованию аппроксимирующих свойств вейвлет-функций в пространствах Соболева: в частности, в главе рассматривается вопрос сходимости вейвлет-приближений к функциям Глава открывается введением в рассмотрение аппроксимирующих ядер в пространствах Соболева, а также доказательством теоремы, утверждающей следующее: в том случае, если функция Прежде всего, ограничим рассмотрение классом периодических ядер, записываемых в общем случае следующим образом:
где Необходимые и достаточные условия, требуемые для выполнения условия моментов (теорема 8.3), а также теорема о вейвлет-приближении в пространствах Соболева (вывод 8.2) приводятся далее. Можно сказать, что упомянутые теорема и вывод являются главными результатами, рассматриваемыми в настоящей главе. Правда, помимо прочего, интересными и заслуживающими внимание здесь являются утверждение 8.6 и вывод 8.1, доказывающие, что при некоторых ограничениях, накладываемых на функцию 8.2. Пространства Соболева Прежде всего рассмотрим в настоящем параграфе определение дифференцируемой функции. С этой целью обозначим через D(R) пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем и приведем ряд результатов в виде определений и утверждений, вводящих в понятие дифференцируемой функции. Утверждение 8.1. Положим, функция
Определение 8.1. Функция Кроме того, отметим, что функция, дифференцируемая почти всюду, очевидно, является непрерывной на R за исключением некоторого множества точек. Утверждение 8.2. Положим, существуют функции Доказательство. Согласно теореме Фубини, для области интегрирования [a,b] имеем следующий результат:
Разделив область интегрирования на части:
Определение 8.2. Функция Замечание 8.1. В том случае, если функция Используя формулу интегрирования по частям, легко доказать, что ряд Тейлора данной функции имеет вид:
Обратимся в данном месте к рассмотрению пространств Соболева - основного вопроса настоящего параграфа. Так, для нормы функции, принадлежащей гильбертову пространству, имеет место следующее определение. Определение 8.3. Функция
Очевидно, Определение 8.4. Определим сопряженное пространство и Нетрудно догадаться, что по аналогии с пространством Замечание 8.2.. Определяя модуль непрерывности функции отметим, что
Более подробное введение в теорию пространств Соболева можно найти в работах [2, 8, 30, 145], к которым отсылаем читателя. В заключение приведем без доказательства лишь основные неравенства теории функциональных пространств. Лемма 8.1 (обобщенное неравенство Минковского). Положим, функция
Лемма 8.2. Положим, что
Доказательство приводимых здесь лемм 8.1, 8.2 можно найти в работах [2, 8, 30, 145]. Отметим также, что лемма 8.2 являет собой следствие леммы 8.1. 8.3. Аппроксимирующие ядра Идея использования аппроксимирующих ядер в задачах аппроксимации предложена в работе [52]. Определение 8.5. Положим, что функция
при этом, как видно, ядро
В частности, при h=2-j имеем ядро, удовлетворяющее условиям многомасштабного анализа в базисе скейлинг-функций. Рассмотрим ряд требований, предъявляемых к свойствам аппроксимирующих ядер и используемых в дальнейшем при решении задач аппроксимации в пространствах Соболева. Требование Н (к размерности ядра). Существует интегрируемая функция F(t) такая, что Требование Н(N). Требование Р (периодичности ядра). Требование M(N) (условие моментов).
![]() ![]() Замечание 8.3. Требование "Н" подразумевает то обстоятельство, что для всех
являющееся справедливым в свете лемм 8.1, 8.2. Требование периодичности ядра, очевидно, может быть удовлетворено в том случае, если ядро представляет собой ядро свертки: Требование (8.3) можно рассматривать как действие оператором 8.4. Основная теорема аппроксимации в пространствах Соболева Докажем теорему о сходимости аппроксимации Теорема 8.1. Положим, что 1). в том случае, если данное ядро удовлетворяет условию M(N) и 2). в том случае, если данное ядро удовлетворяет условиям M(N) и H(N+1) и 3). в том случае, если данное ядро удовлетворяет условиям P и H(N) и при этом существует нетривиальная функция Доказательство. Введем в рассмотрение следующие функции:
в которых Запишем ряд Тейлора для функции
полагая, что остаточный член данного ряда при N=0 имеет вид
Подставляя данное выражение в выражение для аппроксимации
1). Итак, в том случае, если ядро
Вводя обозначение ![]() 2). Положим в данном месте, что и, следовательно, при 3). Условие периодичности, накладываемое на аппроксимирующее ядро, подразумевает, что функции для всех и, как результат, Лемма 8.3 [2, 8, 145]. Существуют ограниченная функция Доказательство. С целью доказательства данной леммы предположим, что функция
где Лемма 8.4. Положим, что
при Доказательство. Рассмотрим функцию
при Очевидно, интеграл, стоящий в левой части выражения (8.7), согласно неравенству Гёльдера не превышает Итак, части 1), 2) доказательства теоремы 8.1 позволяют определить скорость сходимости аппроксимации Замечание 8.4. В том случае, если ядро В том случае, если имеет место аппроксимация функции
где при 8.5. Операторы ортогональной проекции и их связь с аппроксимирующими ядрами Определим для произвольной функции
(здесь
Условие существования
Иначе говоря,
Таким образом, условие существования Утверждение 8.3.В том случае, если функция
Кроме того, если при этом функция
![]() ![]() Доказательство.Прежде всего, покажем, что при с использованием неравенства Гёльдера† можно показать, что Нетрудно видеть, что данные выкладки доказывают справедливость неравенства (8.12) для случая Справедливость выражения (8.13) может быть показана посредством нормирования выражения (8.12). Доказательство справедливости неравенства, имеющего место в правой части (8.14) не имеет смысла, поскольку полностью повторяет доказательство справедливости (8.12). В свою очередь, с целью доказательства неравенства, стоящего в левой части (8.14), достаточно вспомнить, что![]() ![]()
где Аналогично предыдущему случаю данное доказательство приводится в данном месте для случая Наконец, упомянем, что неравенство (8.15) является нормированной версией неравенства (8.14). Переходя к доказательству следующего утверждения, отметим, что существование функции Утверждение 8.5. Существует скейлинг-функция Доказательство. Согласно неравенству Коши-Шварца†† имеют место следующие выкладки:
Следовательно, по теореме Фубини, имеем: Весьма важным следствием приводимого здесь утверждения является тот факт, что в свете условия существования для всех Определение 8.7 ядра ортогонального проецирования. В том случае, если функция Замечание 8.5. Ядро ортогонального проецирования удовлетворяет требованию периодичности, т.е. само является периодическим. 8.6. Условие моментов для проецирующих ядер В настоящем параграфе исследуем свойства скейлинг-функции, необходимые для достижения ядром условия моментов M(N). С этой целью сформулируем свойства скейлинг-функций, позволяющие требовать ограниченности ядра. Требование S ограниченности. Существует ограниченная невозрастающая функция и
Требование S(N) (ограниченности при заданном числе вырожденных моментов). В том случае, если требование S выполняется, имеет место также неравенство Лемма 8.5. Условие существования Доказательство. . Поскольку функция
Однако, если предполагать, что Теперь, принимая во внимание условие S, видно: почти для всех
![]() Лемма 8.6. В том случае, если скейлинг-функция удовлетворяет условию S, ядро почти всюду для положительных C1, C2. Доказательство. Используя факт монотонности функции
считая, что
![]()
![]() ![]() ![]() ![]()
используя выражение (8.19) и тот факт, что Возьмём для дальнейшего доказательства число
![]() ![]() ![]()
Используя доказательство леммы 8.6, легко увидеть, что условие S(N), накладываемое на число вырожденных моментов ядра при требовании его ограниченности, удовлетворяется в равной с условием H(N) степени. Математически это выражается следующим образом:
![]() Утверждение 8.5. Положим, скейлинг-функция 1) 2) Выражения
являются эквивалентными для всех
и
где 3) Ядро 4) В том случае, если скейлинг-функция удовлетворяет условию S, ядро Доказательство. 1) Для доказательства первого утверждения воспользуемся биномом:
2) Итак, как следует из приведенного доказательства, выражение (8.23) вытекает из выражения (8.22), причем обратное доказывается по индукции. Действительно, в том случае, если равенство (8.23) является справедливым, имеет место равенство Остаётся показать эквивалентность выражений (8.22) и (8.24). Согласно свойству преобразования Фурье (4.9), можно записать, что
причем
Применяя к данному выражению формулу суммирования Пуассона, получим:
Отметим, что выражение (8.24) является эквивалентным выражению
справедливому для всех С целью доказательства того факта, что выражение (8.25) вытекает из выражения (8.23), рассмотрим выражение (8.28) при k=0. В этом случае
С другой стороны, имеет место равенство Справедливость выражения (8.26) видно из следующего доказательства:
3) Условие моментов, выражаемое в виде (8.3), можно переписать следующим образом:
Перепишем выражения (8.31) с учетом (8.26):
полагая, что 4) Доказательство данного утверждения является очевидным. В заключении главы рассмотрим небольшое замечание, относящееся к условию моментов и его выполнению для простейшего ядра свертки. Замечание 8.6. В том случае, если
при Примечания переводчика. * ** *** Действительно, аппроксимация † Неравенство Гёльдера имеет вид: †† Неравенство Коши-Шварца является следствием неравенства Гёльдера: В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу |
|