|
Раздел "Обработка сигналов и
изображений\Wavelet Toolbox"
"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод
К.А.Алексеева)
\ \
2. Система функций Хаара
Функции Хаара являются старейшими представителями вейвлет-функций,
известными с 1910 года. Рассмотрим данные функции в качестве примера
построения систем вейвлет-функций на множестве .
Пусть представляет собой пространство всех комплекснозначных
функций вещественной переменной, суммируемых с квадратом:
.
Фактически это означает, что в данном пространстве введено скалярное
произведение, т.е.
,
причем символ * означает комплексное сопряжение функции.
Вообще говоря, в большинстве задач инженерной практики пространство
– Гильбертово пространство – можно рассматривать как
пространство, область значений функций которого принадлежат .
Система функций
является ортонормированной, если функции этой системы попарно
ортогональны:
,
где – функция Дирака. При этом система
образует ортонормированный базис пространства , если
функция может быть разложена в ряд по функциям этой
системы†:
,
причем энергия спектральных коэффициентов также
ограничена:
.
Рассмотрим в пространстве
функцию такую, что на
интервале , .
Очевидно, данная функция может быть разложена в ряд по базису функций , заданных как
, (2.1)
т.е. , причем такой ряд сходится в и .
Замечание 2.1. На основании вышеизложенного можно утверждать,
что система , в которой ,
представляет собой ортонормированный базис в .
Предположим теперь, что некоторую функцию ,
принимающую постоянные значения на интервалах , , можно разложить в ряд по функциям ,
образует базис пространства .
Тогда, как нетрудно догадаться, функция и .
Продолжая процесс перехода от пространства к
пространству , можно заметить, что в общем случае данные
пространства оказываются вложенными:
,
при этом функции, образующие их, имеют вид: , где
– номер пространства.
Отметим, что аналогичным образом можно построить цепь пространств для всех .
Тогда, полагая пространства вложенными друг в друга и
, можно построить пространство, аппроксимирующее
Гильбертово.
Утверждение 2.1. Объединение пространств всюду
плотно в .
Доказательство предложенного утверждения основывается на том факте, что
всякая функция , взятая в гильбертовом пространстве, может быть
аппроксимирована кусочно-постоянными функциями , где
суть некоторые сегменты, тогда как собственно функция
, – аппроксимирована суммой функций ,
взятых на интервалах .
Другими словами, система функций
образует линейную оболочку, также плотную в ,
однако базиса в гильбертовом пространстве не формирует.
?
С целью ортогонализации данной системы функций введем в рассмотрение
пространство , дополняющее пространство до
пространства :

или, что тоже самое, . Иначе
говоря, всякий элемент
пространства может быть представлен в виде суммы элементов, ортогональных друг другу, таких, что , . Очевидно,
представляет собой линейное пространство в ,
заданное некоторым базисом ,
например,
. (2.2)
Утверждение 2.2. Система функций таких,
что , является ортонормированным базисом в .
Сказанное означает, что , и
всякая функция может быть разложена в ряд по функциям данного
пространства единственным образом:
,
причем такой ряд сходится и энергия его спектральных коэффициентов
конечна.
С целью проведения доказательства данного утверждения рассмотрим
следующие вопросы:
представляет собой ортонормированную систему, поскольку
носители функций и
не содержат общих точек в случаях, когда , при
этом ;
- функции системы
ортогональны функциям, образующим пространство ,
т.е.

для всех , .
Очевидно, в том случае, если ,
носители функций и
не имеют общих точек и их скалярное произведение равно
нулю. При ортогональность функций также является
очевидной:

по определению ;
- всякая функция
может быть разложена в ряд по функциям
единственным образом. Действительно, в том случае, если существует
разложение функции в
ряд по функциям :
,
причем и такой ряд сходится, то разложение функции в ряд по базису
является единственным. Дело в том, что всякая функция из системы может быть представлена в виде линейной комбинации
функций , для любого значения .
Проиллюстрируем сказанное примерами, соответствующими случаям и :
;
.
?
Итак, пространство
представляет собой ортогональное дополнение пространства до
пространства . Нетрудно догадаться, что утверждение 2.2
является справедливым также для всех , в
которых есть ортогональное дополнение пространства до
пространства , причем система ,
функции которой имеют вид ,
является ортонормированным базисом пространства .
Вообще говоря, пространство
представляет собой ни что иное, как совокупность дополнений пространства
, сформированную пространствами , : действительно,

или в более компактном виде:
.
Теперь наряду с тем фактом, что ,
справедливость которого показана ранее, можно утверждать, что и, таким образом, всякая функция может
быть разложена в ряд по функциям :
. (2.3)
Здесь и
представляют собой коэффициенты разложения по
функциям соответственно, причем ряд (2.3)
сходится.
Вывод 2.1. Система функций
является ортонормированным базисом в пространстве .
Замечание 2.2. Графические иллюстрации, сопровождающие примеры
гл. 1, содержат изображение коэффициентов
разложений исследуемых данных.
Замечание 2.3. Приближение функции ,
записываемое в виде (2.3), обладает свойством временной и частотной
локализации. Действительно, суммирование членов разложения по переменной
соответствует локализации сингулярностей во временной
области, поскольку подразумевает транслирование функций , вдоль оси абсцисс. В то же время, суммирование членов
ряда по позволяет определить спектральный состав функции.
Итак, выражение (2.3) представляет собой вейвлет-разложение функции,
характер которого определяется выбором базисных функций , . Нетрудно догадаться, что возможно построение других
базисов анализа (данный вопрос будет обсуждаться позднее). Отметим,
функция носит название скейлинг-функции, тогда как –
материнской функции вейвлет.
Замечание 2.4. Материнская вейвлет-функция может
быть определена отличным способом, например, в виде
.
Вообще говоря, существует множество вейвлет-функций, ортогональных
функции, заданной выражением (2.1).
Приближение чирпа, введенного в примере 1.2, несколькими членами
разложения (2.3) приведено на рис. 2.1. Точнее, в нижней части рисунка
показаны коэффициенты
разложения чирпа по базисным функциям Хаара, соответствующие уровням , тогда как в верхней части рисунка, собственно, результат
приближения в базисе Хаара. Как видно, данный базис не обеспечивает
удовлетворительных результатов аппроксимации гладкой низкочастотной
составляющей чирпа; в то же время последовательность импульсов,
наблюдаемых на интервале
приближения, позволяют судить о присутствии высоких частот на данном
интервале. В связи с этим возникает вопрос выбора базисных функций,
обеспечивающих лучшие результаты приближения.

Рис. 2.1. Синусоида, аппроксимированная функциями Хаара
\ \
|