Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

10. Статистические приложения вейвлет-функций

10.8 Регрессионное оценивание

Предположим, существует некоторый вектор, построенный из членов

,

в котором есть некоторые случайные переменные с нулевым средним, тогда как - регулярная эквидистантная сетка на сегменте , причем . Рассмотрим проблему оценивания функции , заданной данными .

Линейная регрессионная вейвлет-оценка данной функции определяется посредством выражения (10.1), в котором коэффициенты аппроксимации и детализации имеют вид:

, (10.48)
. (10.49)

Выбор оценок (10.48), (10.49) можно обусловить тем фактом, что такие оценки являются почти несмещенными оценками истинных значений коэффициентов разложения для случаев больших . Так, например,

,

если подынтегральные функции достаточно гладкие, тогда как вейвлет-функция удовлетворяет при этом всем необходимым предположениям (см. Замечание 10.1).

Регрессионная вейвлет-оценка функции определяется с использованием выражений (10.11) - (10.13) для мягкого и жесткого трешолдингов. При этом посылки, необходимые для выбора начального и конечного уровней разложения , остаются действительными.

Отметим, что весьма важным обстоятельством в данной задаче является необходимость эквидистантности сетки : в противном случае определение оценок должно меняться. Данное обстоятельство обсуждается в работах [64, 69, 116], однако в данном месте также следует подробно остановиться на нем.

Первая методика основана на разбиении и "масштабировании" интервала наблюдения с целью приведения его к [65]. Идея построения вейвлет-оценки в данном случае оказывается сходной с (10.7), (10.12): во-первых, рассчитывается регрессограмма на интервалах длиной , центрированных относительно эквидистантных точек сетки . С целью проведения более простых вычислений дискретного вейвлет-преобразования значение параметра выбирается равным степени числа 2.

Пусть представляет собой вектор значений регрессограммы в точках , рассчитанных следующим образом:

.

Тогда поиск искомых значений оцениваемой функций сводится к простому использованию выражений (10.7)-(10.9) в точках сетки .

Вторая методика, характерная для случая неэквидистантной сетки, предложена в работе [116]. Расчет оценки в данном случае кажется более сложным по сравнению с предыдущим случаем в виду невозможности его сведения к алгоритму дискретного вейвлет-преобразования.

Отметим, что решение задачи в данном случае осуществляется на конечном сегменте, принадлежащем , в связи с чем базис анализа перестает быть ортогональным. На практике данный эффект проявляется в виде утечек на границах сегмента. Однако возможные способы коррекции, из которых первый состоит в построении базиса вейвлет-функций на конечном интервале [23, 105], тогда как второй - в реализации стандартных процедур уменьшения пограничных утечек [70], позволяют устранить данный эффект.

Рассмотрим прежде всего регрессионное вейвлет-сглаживание без коррекции пограничных утечек. Здесь аппарат вейвлет-преобразования применен к данным, показанным на рис. 10.25. Исследуемые данные имеют функциональный вид:

(10.50)

при наличии в данных аддитивного гауссова шума с СКО, равным 0.4. В частности, 512 отсчетов, помеченных знаком +, представляют собой зашумленные данные, тогда как, собственно, функция (10.50) - сплошной линией. Вообще говоря, данные в настоящем примере аналогичны случаям, изображенным на рис. 1.12, 1.13.

На рис. 10.26 показана линейная вейвлет-оценка, полученная с использованием симмлета 4 порядка, : данная оценка неплохо повторяет зашумленные данные.

Уменьшим уровень разложения до 5: результирующая линейная оценка представлена на рис. 10.27. Ее сглаживающий характер в данном случае является очевидным: высокие частоты правой части кривой моделируются удовлетворительно при удовлетворительном же повторении низкочастотного тона.

Пороговая регрессионная вейвлет-оценка определяется с использованием выражений (10.10)-(10.15) по эмпирическим коэффициентам разложения, вводимым посредством (10.48), (10.49).

Рис. 10.25

Исходная функция и ее зашумленная версия

Рис. 10.26

Линейная вейвалет-оценка и истинная кривая

Рис. 10.27

Линейная вейвлет-оценка и истинная кривая при

Жесткая пороговая обработка с учетом того обстоятельства, что , обладает примерно той же интегральной оценкой погрешности, что и вейвлет-модель, построенная с использованием мягкого трешолдинга. В связи с этим на рис. 10.28 приведем лишь мягкую пороговую вейвлет-оценку. Отметим корректное поведение оценки на границах интервала.

Рассмотрим другой пример (см. рис. 10.29): здесь изображена функция на сетке из 512 отсчетов, а также линейная вейвлет-оценка, построенная для случая . Как видно, пограничный эффект в данном случае проявляется в полную силу. Очевидно, одним из способов устранения эффекта может служить зеркальная симметризация.

Отобразим зеркально исходные данные, помещая их в обратном порядке симметрично относительно границ интервала. Для исследуемой на рис. 10.29 функции такое симметрирование относительно абсциссы, равной 1, приведет к образованию ^-подобной формы. Зеркальное отражение у точки не является необходимым в силу того, что симметрированная функция на удвоенном интервале оказывается периодической. Произведем построение вейвлет-оценки полученной функции лишь на исходном интервале данных. Как видно (см. рис. 10.30), пограничный эффект в данном случае не наблюдается.

Немаловажным вопросом при построении пороговых оценок является вопрос выбора значения порога. Одним из вариантов возможного выбора может служить расчет порога с использованием выражения:

, (10.51)

в котором

, (10.52)

- число ненулевых коэффициентов детализации на рассматриваемом уровне. В более общих случаях, очевидно, число является пропорциональным (см. замечание 10.1). Член в квадратных скобках суммы (10.52) представляет собой локальную оценку дисперсии шума (см. []). Весьма важным является тот факт, что пороговое значение зависит от . Отметим также, что процедура, заданная выражениями (10.51), (10.52), предложена М.Нойманом (M. Neumann). Основная мотивация выбора такого порога приведена в параграфе 11.4.

Рис. 10.28

Мягкая пороговая вейвлет-оценка при

Рис. 10.29

Пограничный эффект при регрессионном вейвлет-оценивании

Рис. 10.39

Регрессионная оценка после введения зеркального симметрирования

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList