Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".

Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

7. Вейвлеты с компактным носителем

7.1. Синтез Добеши

Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит И.Добеши, впервые опубликовавшей его в работе [27].

В настоящем параграфе рассматриваются основные положения метода Добеши, приводятся функции , представляющие собой тригонометрические полиномы, которые позволяют синтезировать скейлинг- и вейвлет-функции с компактным носителем и заданным числом вырожденных моментов. Отметим, наличие некоторого числа вырожденных моментов является весьма важным свойством для обеспечения наилучшей сходимости вейвлет-рядов (см. гл. 8).

Ранее было показано, что выполнение условий леммы 6.3, а также равенств (6.9), (6.14) является достаточным для удовлетворения требований, предъявляемых к скейлинг- и вейвлет-функциям. В настоящем параграфе будем полагать, что данные условия выполняются всюду.

Вывод 7.1. Положим, что условия, входящие в формулировку леммы 6.3, полностью удовлетворены, тогда как равенство (6.14) является справедливым. Тогда функция может быть факторизована как

, (7.1)

где есть некоторый тригонометрический полином.

Доказательство. В силу своего определения и для всех . Следовательно, легко предположить, что также при , входящим в выражение (7.1). В том случае, если является тригонометрическим полиномом, также представляет собой тригонометрический полином.

В общем случае функцию , записанную в форме (7.1), можно рассматривать также в форме

, (7.2)

предполагающей, что и представляет собой тригонометрический полином. Иначе говоря, синтез функций , сводится к отысканию полинома .

Введем обозначение

;

здесь в силу четности функция представляет собой разложение по . Тогда при условии, что , имеем:

,

при этом является также разложением по . Перепишем функцию в виде

,

используя замену переменной . Очевидно, в данном случае равенство

,

а, следовательно, равенство

,

при подстановке записываемое в виде

, (7.3)

являются справедливыми для всех .

Отметим, необходимые и достаточные условия, накладываемые на полином и удовлетворяющие равенству (7.3), подробно обсуждаются в [27]. В частности, автор работы утверждает, что полином может быть записан в виде

, (7.4)

в котором представляет собой нечетную функцию такую, что при .

Теперь, после произведенных выкладок, становится ясным то обстоятельство, что отыскиваемый полином есть ни что иное как . В упомянутой работе [27] утверждается, что при функция имеет вид:

, (7.5)

причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы условие удовлетворялось полностью. Коэффициенты , рассчитанные для функции , приведены в таблице 1 Приложения А.

Определение 7.1. Вейвлет-функции, синтезируемые с использованием выражения (7.5), представляют собой вейвлеты Добеши dbN.

Пример 7.1. Положим, в выражении (7.5) . Тогда скейлинг-функция, синтезируемая с использованием техники Добеши, представляет собой функцию db1.

Действительно, в данном случае

и . Выберем функцию такой, что . Очевидно, данный выбор является корректным, поскольку

.

Кроме того, в силу выражения (6.5), определяющего правило построения образа Фурье функции с использованием функции для всех , имеем:

.

Производя выкладки над данным выражением:

,

а также считая, что , после предельного перехода для получим окончательное выражение:

.

Как видно, образ Фурье скейлинг-функции свидетельствует о том, что функция db1 представляет собой ни что иное как скейлинг Хаара .

Пример 7.2. Положим в данном примере и, таким образом, рассмотрим задачу синтеза скейлинг-функции Добеши db2.

Как следует из выражения (7.5),

и, следовательно, соответствующая данному случаю функция имеет вид:

.

Записывая выражение для относительно коэффициентов :

,

легко заметить, что данные коэффициенты, стоящие при комплексных экспонентах , имеют значения:

,

,

,

. (7.6)

Полагая для других случаев, запишем общее выражение, характеризующее функцию :

,

при этом суть некоторые коэффициенты.

Замечание 7.1 о свойствах функций Добеши. Согласно лемме 6.3, носитель скейлинг-функции

, (7.7)

тогда как носитель вейвлет-функции

.

Поскольку для всех , вырожденные моменты вейвлет-функции имеют нулевое значение

также для всех .

Из примера 7.2 следует тот факт, что вырожденные моменты вейвлет-функции db2 также имеют нулевые значения:

,

.

Как показано в работе [28], среди вейвлетов с компактным носителем свойством симметричности обладают лишь функции Хаара (функции Добеши db1). Кроме того, скейлинг- и вейвлет-функции Добеши принадлежат классу Гёльдера для всех только при

. (7.10)

Действительно, в пределе при , экспонента становится равной 0.2.

Пример 7.3. Скейлинг- и вейвлет-функции Добеши db1, db2, db3, db4 показаны на рис. 7.1. Из рисунка видно, что экспонента Гёльдера является характерной лишь для вейвлета db4.

Рис. 7.1. Скейлинг- и вейвлет-функции Добеши db1, db2, db3, db4.

7.2. Койфлеты

Говоря о функциях Добеши, необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: в отличие от функций вейвлет, вырожденные моменты скейлинг-функций не имеют нулевых значений – свойства, весьма желательного в задачах аппроксимации. Дело в том, что наличие у скейлинг-функций нулевых моментов позволяет принимать дискретные отсчеты функции в качестве коэффициентов разложения по скейлинг-базису, т.е. , где есть некоторая величина известного порядка малости.

В связи с тем, что наличие у скейлинг-функций моментов, равных нулю, является весьма полезным для ряда приложений, в работе [28] введен новый класс вейвлетов – койфлеты, – скейлинг-функции которых обладают упомянутым свойством.

С целью построения койфлетов рассмотрим функцию такую, что

,

где представляет собой тригонометрический полином. Кроме того, для построения койфлетов потребуем выполнения следующих условий:

(7.11)

или в частотной области

Причем условие подразумевает, что согласно лемме 6.4

(7.12)

также для всех .

Вывод 7.2. Функция может быть представлена в виде

, (7.13)

где есть тригонометрический полином при условии, что требования, содержащиеся в формулировке леммы 6.3, полностью удовлетворены и выражение (7.12) также является справедливым.

Доказательство данного вывода полностью повторяет доказательство вывода 7.1.

Положим, существует некоторое число , в котором . Тогда, согласно работе [28], выражения (7.1) и (7.13) подразумевают возможность записи функции в виде:

. (7.14)

Здесь

,

и представляет собой некоторый тригонометрический полином, выбираемый с учетом того, что

.

Определение 7.2. Вейвлет-функции, полученные с использованием полинома , записываемого в виде (7.14), называются койфлетами (coifK).

Замечание 7.2 о свойствах койфлетов.

(7.15)

(7.16)

; (7.17)

; (7.17)

койфлеты являются несимметричными функциями. (7.19)

Пример 7.4. В качестве примера приведем вейвлет-функцию coif3, обладающую 5 вырожденными моментами, такую, что

.

Отметим также, что коэффициенты койфлетов сведены в Таблицу 1 Приложения А, а также перечислены в работе [28].

Графическое представление функций coif1, coif2, coif3, coif4 приведено на рис. 7.2: здесь каждый койфлет изображен с собственной скейлинг-функцией.

Рис. 7.2.

Скейлинг и вейвлет-функции койфлет coif1, coif2, coif3, coif4

7.3. Симмлеты

Как показано в работе [28], скейлинг- и вейвлет-функции не могут обладать свойством симметричности при условии компактности их носителя: исключение здесь составляет вейвлет-функция Хаара. Однако для практических целей таких, как, например, обработка изображений, наличие симметричности оказывается крайне желательным обстоятельством: правда, симметричность функций становится возможной лишь при условии минимальности фазы и, следовательно, минимальности фазы полинома .

Коэффициенты симмлет-функций symN приведены в работе [28].

Замечание 7.3 о свойствах симмлетов.

(7.20)

(7.21)

; (7.22)

симмлеты являются несимметричными функциями. (7.23)

Пример 7.5. Приведем в качестве заключительного примера функцию sym8. Данная вейвлет-функция имеет 7 вырожденных моментов, причем

.

Первые четыре функции симмлет показаны на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Скейлинг- и вейвлет-функции sym1, sym2, stm3, sym4.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList