Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".

Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

1.3. Сжатие данных

Помимо упомянутой ранее способности осуществлять временную локализацию, вейвлеты позволяют добиться значительных упрощений при решении задачи приближения: число спектральных коэффициентов в данном случае оказывается много меньшим по сравнению с числом спектральных коэффициентов Фурье.

Пример 1.1.

Предположим, существует некоторая ступенчатая функция

,

разложение которой в ряд Фурье имеет вид:

,                                (1.1)

где , .

Из рис. 1.10, на котором изображена ступенчатая функция и ее приближение рядом Фурье, включающим 5 членов разложения, видны сильные осцилляции вокруг точки разрыва. Действительно, в разложении (1.1) коэффициенты убывают как , что представляется крайне неудовлетворительным для приближения разрывных функций. Очевидно, лучшее приближение может быть достигнуто при использовании большего числа членов ряда. На рис. 1.11 показана ступенчатая функция и ее приближение рядом Фурье, содержащим 50 членов. Осцилляции вокруг сингулярности функции не исчезают: такое положение дел, к сожалению, остаётся даже при использовании 500 членов ряда.

Рис. 1.10. Ступенчатая функция и ее приближение рядом Фурье, содержащим 5 членов

Wavhkpt110.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html

Рис. 1.11. Ступенчатая функция и ее приближение рядом Фурье, 50 членов

Wavhkpt111.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html

Применение гибких вейвлет-функций позволяет подойти к задаче аппроксимации сингулярностей более квалифицированно, при этом в противоположность анализу Фурье приближающий вейвлет-ряд может состоять лишь из одного члена. С целью получения подобного выигрыша достаточно использовать базис вейвлет-функций, имеющий сильную осциллирующую природу и малый, может быть, компактный носитель. Таким базисом служит, например, базис Хаара. Данный базис может быть сформирован на основе материнской вейвлет-функции

                                                      (1.2)

при условии, что

.

Здесь указывает точку размещения разрыва вейвлет-функции, а представляет собой показатель степени множителя, масштабирующего частоту вейвлета.

Теперь возможность приближения ступенчатой функции посредством лишь двух вейвлет-коэффициентов становится очевидной, тогда как причины возникновения осцилляций вокруг сингулярности функции при ее приближении рядом Фурье понятными.

Пример 1.2.

Рассмотрим бигармоническую нестационарную функцию

,

число эквидистантных отсчетов которой равно 512 (здесь символ обозначает логическое условие). Иначе говоря, функция представляет собой соединение двух сегментов и , частота гармоники на первом из которых существенно меньше частоты , взятой на втором (см. рис. 1.12).

Рис. 1.12. Бигармоническая нестационарная функция.

Wavhkpt112.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html

Нетрудно догадаться, что в разложении данной функции в ряд Фурье помимо гармоник и обязательное место имеет также некоторое число высокочастотных гармоник, призванных компенсировать за пределами единичной области задания функции две основные – и . В то же время, разложение в ряд по базису вейвлет-функций предполагает использование лишь двух пар время-частотных коэффициентов, а именно: и .

Из рис. 1.13, на котором представлено вейвлет-разложение исходной функции, следует, что на более низком уровне разложения активно проявляет себя низкочастотная доминанта, тогда как поведение высокой отчетливо видно на третьем, более высоком уровне.

Функция, восстановленная с использованием восемнадцати коэффициентов вейвлет-разложения, показана в верхней части рис. 1.14. Как видно, ограничение числа коэффициентов разложения, а также использование негладких базисных функций (db4) приводит к появлению на кривой зазубрин. Скажем полноты ради, что значение порога, рассчитанного для отбора коэффициентов разложения, здесь принято равным значения максимального по модулю вейвлет-коэффициента; коэффициент сжатия исходной функции равен 28.

Технология сжатия информации с использованием вейвлет-функций оказалась наиболее привлекательной для обработки изображений: собственно сжатия, восстановления и фильтрации. Так, на рис. 1.15 показана эмблема семинара “Париж-Берлин”, снятая на цифровую фотокамеру, а затем сжатая в 130 раз в базисе функций Хаара. Эффективность сжатия эмблемы является очевидной: при условии, что размер исходного изображения составляет 256*256=65536 точек, тексты “seminaire Paris-Berlin” и “Seminar Berlin-Paris” остаются вполне разборчивыми для чтения, несмотря на некоторые искажения. Число вейвлет-коэффициентов, использованных для синтеза изображения, составляет соответственно 500.

Пути повышения сходимости приближений обсуждаются в гл. 8, 9.

Рис. 1.13. Время-частотная плоскость для бигармонической функции.

Wavhkpt113.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html

Рис. 1.14. Приближение бигармонической функции разложением в вейвлет-ряд и ее времячастотная плоскость.

Wavhkpt114.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html

Рис. 1.15. Эмблема семинара, восстановленная с использованием 500 коэффициентов разложения.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList