Раздел "Обработка
сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"
"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)
\
Приложения.
А. Вейвлет-коэффициенты
В приведенной ниже таблице даны коэффициенты вейвлетов db2, db4,…, db20, sym4, sym5, …, sym10, coif1, coif2, …, coif5 (правила отыскания их коэффициентов в таблице см. в параграфе 12.6).
1
|
0
|
.
|
482963
|
75
|
0
|
.
|
133197
|
149
|
-0
|
.
|
140047
|
223
|
-0
|
.
|
00182321
|
2
|
0
|
.
|
836516
|
76
|
-0
|
.
|
293274
|
150
|
-0
|
.
|
107808
|
224
|
-0
|
.
|
000720549
|
3
|
0
|
.
|
224144
|
77
|
-0
|
.
|
0968408
|
151
|
0
|
.
|
00401024
|
225
|
-0
|
.
|
00379351
|
4
|
-0
|
.
|
12941
|
78
|
0
|
.
|
148541
|
152
|
0
|
.
|
0102682
|
226
|
0
|
.
|
0077826
|
5
|
0
|
.
|
332671
|
79
|
0
|
.
|
0307257
|
153
|
0
|
.
|
00188995
|
227
|
0
|
.
|
0234527
|
6
|
0
|
.
|
806892
|
80
|
-0
|
.
|
0676328
|
154
|
-0
|
.
|
000302921
|
228
|
-0
|
.
|
0657719
|
7
|
0
|
.
|
459878
|
81
|
0
|
.
|
000250947
|
155
|
-0
|
.
|
0149523
|
229
|
-0
|
.
|
0611234
|
8
|
-0
|
.
|
135011
|
82
|
0
|
.
|
0223617
|
156
|
0
|
.
|
00380875
|
230
|
0
|
.
|
405177
|
9
|
-0
|
.
|
0854423
|
83
|
-0
|
.
|
0047232
|
157
|
0
|
.
|
0491372
|
231
|
0
|
.
|
793777
|
10
|
0
|
.
|
0352263
|
84
|
-0
|
.
|
0042815
|
158
|
-0
|
.
|
027219
|
232
|
0
|
.
|
428483
|
11
|
0
|
.
|
230378
|
85
|
0
|
.
|
00184765
|
159
|
-0
|
.
|
0519458
|
233
|
-0
|
.
|
0717998
|
12
|
0
|
.
|
714847
|
86
|
0
|
.
|
000230386
|
160
|
0
|
.
|
364442
|
234
|
-0
|
.
|
0823019
|
13
|
0
|
.
|
630881
|
87
|
-0
|
.
|
000251963
|
161
|
0
|
.
|
777186
|
235
|
0
|
.
|
034555
|
14
|
-0
|
.
|
0279838
|
88
|
3
|
.
|
934732e-005
|
162
|
0
|
.
|
48136
|
236
|
0
|
.
|
0158805
|
15
|
-0
|
.
|
187035
|
89
|
0
|
.
|
0266701
|
163
|
-0
|
.
|
0612734
|
237
|
-0
|
.
|
00900798
|
16
|
0
|
.
|
0308414
|
90
|
0
|
.
|
188177
|
164
|
-0
|
.
|
143294
|
238
|
-0
|
.
|
00257452
|
17
|
0
|
.
|
032883
|
91
|
0
|
.
|
527201
|
165
|
0
|
.
|
00760749
|
239
|
0
|
.
|
00111752
|
18
|
-0
|
.
|
0105974
|
92
|
0
|
.
|
688459
|
166
|
0
|
.
|
0316951
|
240
|
0
|
.
|
000466217
|
19
|
0
|
.
|
160102
|
93
|
0
|
.
|
281172
|
167
|
-0
|
.
|
000542132
|
241
|
-7
|
.
|
09833e-005
|
20
|
0
|
.
|
603829
|
94
|
-0
|
.
|
249846
|
168
|
-0
|
.
|
00338242
|
242
|
-3
|
.
|
459977e-005
|
21
|
0
|
.
|
724309
|
95
|
-0
|
.
|
195946
|
169
|
0
|
.
|
00106949
|
243
|
0
|
.
|
000892314
|
22
|
0
|
.
|
138428
|
96
|
0
|
.
|
127369
|
170
|
-0
|
.
|
000473154
|
244
|
-0
|
.
|
00162949
|
23
|
-0
|
.
|
242295
|
97
|
0
|
.
|
0930574
|
171
|
-0
|
.
|
0102641
|
245
|
-0
|
.
|
00734617
|
24
|
-0
|
.
|
03224
|
98
|
-0
|
.
|
0713941
|
172
|
0
|
.
|
00885927
|
246
|
0
|
.
|
0160689
|
25
|
0
|
.
|
0775715
|
99
|
-0
|
.
|
0294575
|
173
|
0
|
.
|
0620778
|
247
|
0
|
.
|
0266823
|
26
|
-0
|
.
|
00624149
|
100
|
0
|
.
|
0332127
|
174
|
-0
|
.
|
0182338
|
248
|
-0
|
.
|
0812667
|
27
|
-0
|
.
|
0125808
|
101
|
0
|
.
|
00360655
|
175
|
-0
|
.
|
191551
|
249
|
-0
|
.
|
0560773
|
28
|
0
|
.
|
00333573
|
102
|
-0
|
.
|
0107332
|
176
|
0
|
.
|
0324441
|
250
|
0
|
.
|
415308
|
29
|
0
|
.
|
111541
|
103
|
0
|
.
|
00139535
|
177
|
0
|
.
|
617338
|
251
|
0
|
.
|
782239
|
30
|
0
|
.
|
494624
|
104
|
0
|
.
|
00199241
|
178
|
0
|
.
|
717897
|
252
|
0
|
.
|
434386
|
31
|
0
|
.
|
751134
|
105
|
-0
|
.
|
000685857
|
179
|
0
|
.
|
238761
|
253
|
-0
|
.
|
0666275
|
32
|
0
|
.
|
31525
|
106
|
-0
|
.
|
000116467
|
180
|
-0
|
.
|
054569
|
254
|
-0
|
.
|
0962204
|
33
|
-0
|
.
|
226265
|
107
|
9
|
.
|
358867e-005
|
181
|
0
|
.
|
000583463
|
255
|
0
|
.
|
0393344
|
34
|
-0
|
.
|
129767
|
108
|
-1
|
.
|
32642e-005
|
182
|
0
|
.
|
0302249
|
256
|
0
|
.
|
0250823
|
35
|
0
|
.
|
0975016
|
109
|
-0
|
.
|
0757657
|
183
|
-0
|
.
|
0115282
|
257
|
-0
|
.
|
0152117
|
36
|
0
|
.
|
0275229
|
110
|
-0
|
.
|
0296355
|
184
|
-0
|
.
|
013272
|
258
|
-0
|
.
|
00565829
|
37
|
-0
|
.
|
031582
|
111
|
0
|
.
|
497619
|
185
|
0
|
.
|
000619781
|
259
|
0
|
.
|
00375144
|
38
|
0
|
.
|
000553842
|
112
|
0
|
.
|
803739
|
186
|
0
|
.
|
00140092
|
260
|
0
|
.
|
00126656
|
39
|
0
|
.
|
00477726
|
113
|
0
|
.
|
297858
|
187
|
0
|
.
|
00077016
|
261
|
-0
|
.
|
000589021
|
40
|
-0
|
.
|
0010773
|
114
|
-0
|
.
|
0992195
|
188
|
9
|
.
|
563267e-005
|
262
|
-0
|
.
|
000259975
|
41
|
0
|
.
|
0778521
|
115
|
-0
|
.
|
012604
|
189
|
-0
|
.
|
00864133
|
263
|
6
|
.
|
233903e-005
|
42
|
0
|
.
|
396539
|
116
|
0
|
.
|
0322231
|
190
|
-0
|
.
|
00146538
|
264
|
3
|
.
|
122988e-005
|
43
|
0
|
.
|
729132
|
117
|
0
|
.
|
0273331
|
191
|
0
|
.
|
0459272
|
265
|
-3
|
.
|
25968e-006
|
44
|
0
|
.
|
469782
|
118
|
0
|
.
|
0295195
|
192
|
0
|
.
|
0116099
|
266
|
-1
|
.
|
784985e-006
|
45
|
-0
|
.
|
143906
|
119
|
-0
|
.
|
0391342
|
193
|
-0
|
.
|
159494
|
267
|
-0
|
.
|
000212081
|
46
|
-0
|
.
|
224036
|
120
|
0
|
.
|
199398
|
194
|
-0
|
.
|
0708805
|
268
|
0
|
.
|
00035859
|
47
|
0
|
.
|
0713092
|
121
|
0
|
.
|
723408
|
195
|
0
|
.
|
471691
|
269
|
0
|
.
|
00217824
|
48
|
0
|
.
|
0806126
|
122
|
0
|
.
|
633979
|
196
|
0
|
.
|
76951
|
270
|
-0
|
.
|
00415936
|
49
|
-0
|
.
|
0380299
|
123
|
0
|
.
|
0166021
|
197
|
0
|
.
|
383827
|
271
|
-0
|
.
|
0101311
|
50
|
-0
|
.
|
0165745
|
124
|
-0
|
.
|
175328
|
198
|
-0
|
.
|
0355367
|
272
|
0
|
.
|
0234082
|
51
|
0
|
.
|
012551
|
125
|
-0
|
.
|
0211018
|
199
|
-0
|
.
|
0319901
|
273
|
0
|
.
|
028168
|
52
|
0
|
.
|
00042957
|
126
|
0
|
.
|
0195389
|
200
|
0
|
.
|
049995
|
274
|
-0
|
.
|
09192
|
53
|
-0
|
.
|
0018016
|
127
|
0
|
.
|
0154041
|
201
|
0
|
.
|
00576491
|
275
|
-0
|
.
|
0520432
|
54
|
0
|
.
|
00035371
|
128
|
0
|
.
|
00349071
|
202
|
-0
|
.
|
0203549
|
276
|
0
|
.
|
421566
|
55
|
0
|
.
|
0544158
|
129
|
-0
|
.
|
11799
|
203
|
-0
|
.
|
000804359
|
277
|
0
|
.
|
77429
|
56
|
0
|
.
|
312872
|
130
|
-0
|
.
|
0483117
|
204
|
0
|
.
|
00459317
|
278
|
0
|
.
|
437992
|
57
|
0
|
.
|
675631
|
131
|
0
|
.
|
491055
|
205
|
5
|
.
|
703608e-005
|
279
|
-0
|
.
|
062036
|
58
|
0
|
.
|
585355
|
132
|
0
|
.
|
787641
|
206
|
-0
|
.
|
000459329
|
280
|
-0
|
.
|
105574
|
59
|
-0
|
.
|
0158291
|
133
|
0
|
.
|
337929
|
207
|
-0
|
.
|
0727326
|
281
|
0
|
.
|
0412892
|
60
|
-0
|
.
|
284016
|
134
|
-0
|
.
|
0726375
|
208
|
0
|
.
|
337898
|
282
|
0
|
.
|
0326836
|
61
|
0
|
.
|
000472485
|
135
|
-0
|
.
|
0210603
|
209
|
0
|
.
|
852572
|
283
|
-0
|
.
|
0197618
|
62
|
0
|
.
|
128747
|
136
|
0
|
.
|
0447249
|
210
|
0
|
.
|
384865
|
284
|
-0
|
.
|
00916423
|
63
|
-0
|
.
|
0173693
|
137
|
0
|
.
|
00176771
|
211
|
-0
|
.
|
072733
|
285
|
0
|
.
|
00676419
|
64
|
-0
|
.
|
0440883
|
138
|
-0
|
.
|
00780071
|
212
|
-0
|
.
|
0156557
|
286
|
0
|
.
|
00243337
|
65
|
0
|
.
|
013981
|
139
|
0
|
.
|
00268181
|
213
|
0
|
.
|
0163873
|
287
|
-0
|
.
|
00166286
|
66
|
0
|
.
|
00874609
|
140
|
-0
|
.
|
00104738
|
214
|
-0
|
.
|
0414649
|
288
|
-0
|
.
|
000638131
|
67
|
-0
|
.
|
00487035
|
141
|
-0
|
.
|
0126363
|
215
|
-0
|
.
|
0673726
|
289
|
0
|
.
|
00030226
|
68
|
0
|
.
|
000039174
|
142
|
0
|
.
|
0305155
|
216
|
0
|
.
|
38611
|
290
|
0
|
.
|
000140541
|
69
|
0
|
.
|
000675449
|
143
|
0
|
.
|
0678927
|
217
|
0
|
.
|
812724
|
291
|
-4
|
.
|
134043e-005
|
70
|
-0
|
.
|
000117477
|
144
|
-0
|
.
|
0495528
|
218
|
0
|
.
|
417005
|
292
|
-2
|
.
|
131503e-005
|
71
|
0
|
.
|
0380779
|
145
|
0
|
.
|
0174413
|
219
|
-0
|
.
|
0764886
|
293
|
3
|
.
|
734655e-006
|
72
|
0
|
.
|
243835
|
146
|
0
|
.
|
536102
|
220
|
-0
|
.
|
0594344
|
294
|
2
|
.
|
063762e-006
|
73
|
0
|
.
|
604823
|
147
|
0
|
.
|
767764
|
221
|
0
|
.
|
0236802
|
295
|
-1
|
.
|
674429e-007
|
74
|
0
|
.
|
657288
|
148
|
0
|
.
|
28863
|
222
|
0
|
.
|
00561143
|
296
|
-9
|
.
|
517657e-008
|
В. Где найти Софт?
По всем вопросам, касающимся приобретения XploRe, обращайтесь по адресу xplore@netcologne.de или
GfKI - Gesselschaft fur Kommunikation and Information
Mauritiussteinweg, 2
D-50676, Koln
Germany
Fax: +492219233906
Вопросы использования данного продукта, рассылку (подписание на нее и отписку) можно получить, послав соответствующие запросы на stat@wiwi.hu-berlin.de, xplore@wiwi.hu-berlinm.de.
Программы, результаты работы которых париведены в настоящей книге, распространяются свободно: http://wotan.wiwi.hu-berlin.de
C. Неравенства Бернштейна и Розенталя
Основной задачей данного приложения является приведение простого доказательства неравенств Бернштейна и Розенталя. Более детально данный вопрос обсуждается в работах [60, 91, 129, 131].
Доказательства основаны на следующей лемме:
Лемма С1. Положим, есть независимые случайные значения такие, что , . Тогда для всякого имеет место неравенство:
, (С.1)
где .
Доказательство.
Рассмотрим функцию

Совершенно ясно, что функция является неубывающей и при этом для любых . Данное свойство может быть легко доказано рассмотрением производной функции, которая равна при , а также доказательством того факта, что содержимое скобок производной имеет тот же знак, что и аргумент.
Используя неравенство Маркова и свойство независимости , для произвольных имеем:
.
Далее, видно, что

,
поскольку . Таким образом, в силу того, что для всех неотрицательных u, имеем в итоге:
,
используя монотонность функции Ф.
Далее становится ясным, что
.
Поскольку значение t может быть произвольным, оптимизируем данное неравенство, принимая t таким, чтобы
.
□
Докажем теперь следующий результат, известный как неравенство Бернштейна [129, 131].
Теорема С1. В силу предположений, сделанных в лемме С1, для всякого имеет место неравенство
.
Доказательство. Достаточно показать, что в неравенстве (С.1) функция может быть заменена функцией
.
Иначе говоря, следует доказать, что
.
Данное доказательство очевидно, поскольку , , .
□
Приводимый ниже вывод является следствием теоремы С1.
Вывод С1.
1. В том случае, если есть независимые значения переменной, , , тогда
.
2. В том случае, если , и , тогда
.
Перейдем в данном месте к доказательству неравенства Розенталя [134].
Теорема С2. Положим, что , есть независимые случайные значения такие, что . Тогда существует функция такая, что
. (С.2)
Замечание С1. Данное неравенство представляет собой обобщение классических выпуклых неравенств, справедливых для :
.
Доказательство. Воспользуемся леммой С1 и заменим в данном случае на , что по принимаемым значениям существенно меньше для любых неотрицательных t. Зафиксируем произвольное число и рассмотрим произвольные случайные числа . Тогда и, следовательно,
.
Кроме того, из леммы С1 следует, что
.
Используя данное неравенство, для всякого положительного имеем:


. (С.3)
Аналогичным образом можно получить:
 . (С.4)
Объединяя неравенства (С.3), (С.4), а также полагая, что , имеем:
 .
Теперь, для случая можно записать:

 
, (С.5)
причем в выражении сделана подстановка . Для того, чтобы закончить доказательство, остается выбрать значение таким образом, чтобы правая часть неравенства была сходящейся. При таком условии выбора неравенство (С.5) переходит в (С.2), причем
.
□
\
|