![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Выход | ![]() |
Ваш Login: "prodav". |
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox" "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева) В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу 4. Некоторые основы анализа Фурье В настоящей главе предпринята попытка изложить основы классического анализа Фурье без приведения каких-либо доказательств их справедливости (исключение здесь составляет лишь формула суммирования Пуассона). Подробное изложение теории Фурье-анализа можно найти в различных учебниках, среди которых целесообразно отметить, например, [84, 139]. Предположим, что
Результат преобразования Фурье такой функции есть непрерывная функция
которая, согласно лемме Римана-Лебега, стремится к нулю при
или, что то же самое,
Будем полагать, что обратное преобразование Фурье обеспечивает полное
восстановление функции Рассмотрим кратко следующие свойства преобразования Фурье. Формула Парсеваля. В том случае, если функции
и, следовательно,
Преобразование Фурье смещенной и масштабированной функций.
для всех Свертка. Определяя свертку двух функций
и полагая при этом, что правая часть данного выражения существует, нетрудно доказать, что в частотной области свертка двух функций вырождается в произведение их образов Фурье:
В том случае, если функция
Преобразование Фурье дифференциала функции. Полагая функцию
для любого
и наоборот, в случае, если
имеем:
Кроме того, можно доказать справедливость следующей леммы. Лемма 4.1. При условии, что
Ряды Фурье. Положим, что
при этом спектральные коэффициенты данной функции рассчитываются на основании следующего выражения:
Формулу суммирования Пуассона введем в рассмотрение с помощью теоремы 4.1. Теорема 4.1. Возьмем гладкую, быстро затухающую функцию
Докажем, что функция
Доказательство. Прежде всего представляется целесообразным
доказать существование преобразования Фурье функции
Во-вторых, рассчитаем спектральные коэффициенты
Замечание 4.1. В более общем случае, т.е. полагая, что функция
В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу |
|