![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Выход | ![]() |
Ваш Login: "prodav". |
Раздел "Обработка сигналов и
изображений\Wavelet Toolbox"
"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева) В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу 12.5 Вейвлет-оценки, инвариантные к сдвигу Построение вейвлет-оценок функций, обладающих всевозможными разрывами, обнаруживает присутствие псевдо-эффекта Гиббса рядом с такими сингулярностями. Разумеется, в вейвлет-оценках данный эффект проявляется с намного меньшей амплитудой по сравнению с разложением в ряды Фурье, однако самое присутствие утечек вызывает искажение в результирующих оценках. В настоящем параграфе постараемся объяснить причину возникновения утечки Гиббса в вейвлет-оценках. Основная идея устранения утечек Гиббса основана на том факте, что
масштабы данного явления находятся в прямой зависимости от локализации
сингулярностей в данных. Так, например, использование вейвлетов Хаара,
разрыв в которых совпадает с разрывом в данных в точке Одним из путей устранения такого несовпадения сингулярностей данных и базиса служит тривиальный сдвиг данных с целью смещения положения разрывов на оси абсцисс. К счастью, сдвиг позволяет устранить утечку Гиббса при последующем синтезе вейвлет-оценок, тогда как трешолдинг - устранить результирующий сдвиг самой оценки. На практике локализация сингулярностей оказывается, как правило, не известной, в связи с чем помимо в задаче синтеза оценок возникает задача оптимизации данных: введения каких-то качественных мер сингулярностей и их минимизации сдвигом на соответствующий интервал. Между тем, наличие нескольких сингулярностей, в том числе накладывающихся друг на друга, может привести к тому, что сдвиг на некоторый интервал, позволяющий избежать утечки в одном временном сечении данных, значительно усугубит эффект Гиббса возле другой сингулярности. Наличие, таким образом, группы разрывов в данных сильно подрывает идею сдвигов. Другой, более робастный подход к устранению утечек Гиббса основан на использовании техники стационарного вейвлет-преобразования (см. трактовку данного преобразования с инженерной точки зрения в [128, 133]. Статистические приложения стационарного преобразования изложены в [25, 110]). Назовем статистическую оценку данных вейвлет-оценкой, инвариантной к сдвигу. Идея построения такой оценки достаточно проста: рассмотрим проблему
оценивания функции плотности (регрессии), заданной, как и ранее, набором
значений
Иными словами,
В силу того, что вычисление каждой слагаемого требует проведения Алгоритм реализации (12.21) весьма близок в сущности своей к алгоритму реализации дискретного преобразования как такового с тем лишь отличием, что содержит помимо прочего также некоторые действия, выполняющие сдвиг данных. Введём для рассмотрения алгоритма следующие векторы:
причем
Далее, на втором шаге, -
и т.д. Схожий алгоритм используется для быстрого расчета произведения
Начнем рассмотрение алгоритма со следующих действий:
Иначе говоря, результатом работы алгоритма на первом шаге являются
векторы На следующем шаге происходит обработка векторов:
Легко догадаться, что векторы Итак, после Оценивание плотности, инвариантное к сдвигу, уже было показано на рис. 10.12 для случая использования мягкого трешолдинга Т. На рис. 12.2 покажем пример оценивания той же плотности (см. параграф 10.4) при использовании жесткого трешолдинга. Рис. 12.2 Оценивание плотности, инвариантное к сдвигу. Симмлет 8 порядка и жесткий трешолдинг с порогом, равным 12.6 Процедуры вейвлет-анализа в XploRe Реализацию приведенных выше алгоритмов можно отыскать интерактивной среде статистических исследований XploRe. Данный пакет описан в литературе [71] и доступен для пользователей по адресу www.xplore-stat.de. В настоящем параграфе описаны основные команды пакета. Синтез вейвлет-функций. Библиотека XploRe содержит 22 базисных вейвлет-функции db2, db4,…, db20, sym4, sym5, …, sym10, coif1, coif2, …, coif5, заданные коэффициентами их фильтров, приведенных в [28]. Эти коэффициенты общим числом 296 хранятся в файле /data/wavelet.dat. Полная таблица коэффициентов приведена также в приложении; порядок следования их в таблице соответствует порядку их перечисления в настоящем абзаце. Так, например, вейвлет sym7 стоит 14 в упомянутом списке, поэтому ему принадлежат коэффициенты с номерами 139-152 таблицы приложения. Перечислим их:
Команда, соответствующая вызову вейвлет-функции в XploRe, - library("wavelet"). Результат, возвращаемый командой, представляет собой вектор коэффициентов указанного в команде вейвлета. Дискретное вейвлет-преобразование. Пусть Команда пакета, реализующая дискретное преобразование, выглядит
следующим образом: {a,b}=fwt(x,l,h), где {a,b} - возвращаемый
вектор разложения, состоящий из субвекторов коэффициентов аппроксимации
Альтеративой описанной команде является команда y=dwt(x,l,h). Рассмотрим численный пример. Сгенерируем функцию Хевисайда: x=#(0,0,1,1) и отметим, что в результирующем векторе {a,b}=fwt(x,l,haar) вернет следующий результат: a= b= Данный результат достаточно просто проверить, задав исходные данные
Здесь На уровне a= b= Обратное вейвлет-преобразование доступно при использовании команды
invfwt(a,b,m,l,h) или ее альтернативы invdwt(y,l,h). В них
параметры а, b представляют собой выходные параметры команды fwt,
параметр Вейвлет-преобразование, инвариантное к сдвигу. Данное преобразование может быть легко вычислено при использовании
функции ti=fwtin(x,d,h), в котором х представляет собой
вектор исходных данных, тогда как d - начальный уровень разложения.
Здесь, как и ранее, Переменная h, как и прежде, задает вектор коэффициентов вейвлет-функции. Обратное преобразование в данном случае вызывается следующим образом: xs=invfwtin(ti,h). |
|