|
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox" "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)
\ \
10. Статистические приложения вейвлет-функций
10.9 Другие статистические модели
Помимо моделей функций плотности распределения, а также моделей регрессионных оценок существует также ряд других моделей, для построения которых в настоящее время привлекается техника вейвлет-анализа; некоторые из таких моделей представлены в настоящем параграфе.
Модель гауссового шума является, возможно, наиболее часто используемой моделью в статистических приложениях вейвлет-функций. Данная модель имеет вид стохастического дифференциального уравнения
 |
(10.53) |
в котором W(t) представляет собой обычный броуновский процесс, рассматриваемый на t [0,1], , тогда как f(t) - некоторую неизвестную функцию, подлежащую оцениванию.
Здесь необходимо отметить, что модель гауссова белого шума, введенная И.Ибрагимовым и Р.Хасминским [77], изначально рассматривалась как некоторая идеализация непараметрических регулярных регрессионных моделей. В частности, предполагалось, что данная идеализация является адекватной реальным процессам при , причем . Скажем при этом, что модель (10.53) позволяет устранить ряд чисто технических трудностей моделирования и, таким образом, обеспечить неплохое средство решения ряда прикладных статистических задач. Кроме того, последние работы, связанные с исследованием вопроса эквивалентности экспериментальных результатов, позволяют расширить область применения данной модели за счет ее приложения к более сложным начальным условиям [16, 121].
Общие принципы построения вейвлет-оценок данных в случае использования модели гауссова шума являются аналогичными; исключение здесь составляют выражения для расчета коэффициентов аппроксимации и детализации:
 |
(10.54) |
Ясно, что приведенные интегральные выражения позволяют рассчитать лишь смещенные значения коэффициентов. Более детальное обсуждение процедуры пороговой обработки, осуществляемой с использованием приведенной модели гауссова шума, можно найти в работах [40, 44].
Модели временных рядов, построенные с использованием вейвлет-функций, и их поведение исследованы в работах [4,55,108]. Автор работ [114, 115] унифицировал правила применения процедуры трешолдинга к моделям различных типов и различной структуры. В работе [117] имеет место краткий обзор методов использования трешолдинга в моделях, не обладающих гауссовостью; в частности, в упомянутой работе содержатся нелинейные адаптивные схемы, позволяющие вычислять спектральные оценки временных рядов.
В последнее время значительно возрос интерес к проблеме построения вейвлет-оценок нестационарных зависимых процессов, локальное поведение которых всё же обладает некоторой малой вариативностью или даже стационарностью. Среди работ, посвященных данной проблеме, можно отметить [26, 45, 118, 147].
Диффузионные модели. Поведение линейных вейвлет-оценок коэффициента диффузии как функции дискретного времени описано в работе [57]. Позднее, в работе [74] предложена модификация таких оценок: нелинейные оценки коэффициента диффузии как функции дискретного времени или пространственной координаты. В частности, в упомянутой работе показано, что предложенные оценки обеспечивают оптимальные скорости сходимости в достаточно широком наборе классов гладкости.
Изображения представляют собой возможный случай обобщения техники вейвлет-анализа на случай нескольких переменных. Так, техника многопараметрического многомасштабного анализа впервые была предложена в работе [101]; позднее, детально разработанный вопрос построения вейвлет-оценок двумерных изображений появился в работах [110, 122].
Можно перечислить также ряд работ, посвященных построению вейвлет-оценок, основанных на произведении базисов с одной переменной [29, 114, 115, 117, 143].
Математические вопросы сходимости, обеспечиваемой процедурой трешолдинга при выполнении некоторых условий выбора порогового значения, приведены в работе [143]: упомянутые вопросы исследованы для многопараметрических классов Бесова применительно к задаче построения функции плотности распределения. Обобщение этих результатов, а также исследование случая построения непараметрической регрессии приведено в [29]. Отметим, что приведенные исследования касаются лишь случая изотропных многопараметрических классов Бесова, т.е. тех классов, в которых гладкость моделируемой функции оказывается одинаковой во всех направлениях. Далее, в работах [114, 115, 117] было также показано, что произведение вейвлет-оценок может обеспечивать минимаксные скорости сходимости в анизотропных классах.
Весьма интересное приложение многопараметрической методологии оценивания найдено авторами работы [117] к задаче построения спектральной плотности локально стационарных процессов. В данном случае координаты время-частотной плоскости получают несколько иное назначение. Теперь не приходится ожидать одинаковых показателей гладкости в обоих направлениях: как результат, использование анизотропных базисов кажется более адекватным.
\ \
|