|
Раздел "Обработка
сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"
"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)
\ \
3. Пространства скейлинг- и вейвлет-функций
3.1. Многомасштабный анализ
Ранее было показано, что система функций Хаара не обеспечивает удовлетворительных результатов аппроксимации гладких функций. Действительно, нетрудно доказать тот факт, что коэффициенты разложения гладкой функции в ряд по базису Хаара убывают достаточно медленно и аппроксимация претерпевает разрывы в некотором числе точек.
Пусть представляет собой некоторую функцию из такую, что множество её трансляций образует ортонормированный базис в . Считая для всех , , положим, что является ортонормированным базисом пространства , т.е. всякая функция , взятая в данном пространстве, может быть разложена по базису как
;
что является базисом пространства , т.е., соответственно, всякая функция , взятая в пространстве , может быть разложена по базису , и т.д. Иначе говоря, замыкания линейных оболочек, порождаемых всевозможными комбинациями функции , образуют для каждого последовательность пространств таких, что
(3.1)
и
всюду плотно в . (3.2)
В главе 2 показано, что система базисных функций Хаара удовлетворяет условиям (3.1), (3.2).
Определение 3.1. Пусть образует ортонормированную систему функций в пространстве . Тогда разложение функции по базисам пространств называется многомасштабным анализом в .
Отметим полноты ради, что понятие многомасштабного анализа введено С.Малла и И.Мейером в конце 80-х годов (подробнее о многомасштабной природе вейвлет-анализа см. в работах [101, 104, 106]). Связь между многомасштабным анализом и вопросом аппроксимации функций будет обсуждаться детально в гл. 8, 9.
Определение 3.2. В том случае, если является последовательностью пространств многомасштабного анализа в , функция порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.
Предположим, что последовательность представляет собой последовательность пространств многомасштабного анализа в . Определим пространство как дополнение пространства до пространства , т.е. . Тогда, подобно случаю с базисом Хаара, можно утверждать, что

и условие (3.1) выполняется. Нетрудно догадаться, что в пределе при 
. (3.3)
Развивая данную мысль, запишем также следующее:
.
Данное выражение означает, что всякая функция , взятая в Гильбертовом пространстве, может быть представлена в виде ряда, сходящегося в :
. (3.4)
Здесь , представляют собой коэффициенты разложения функции по базисам , , причем является базисом пространств .
Необходимо отметить, что между функциями , введенными в данной главе и главе 2, существует некоторое различие: в то время, как функция (2.2) имеет жесткое определение разрывной функции Хаара, функция, стоящая в выражении (3.4), представляет в общем случае одну из базисных функций пространства .
Таким образом, выражение (3.4) являет собой ничто иное, как многомасштабное разложение функции , причем уровень разложения здесь задается с использованием пространства . Действительно, построение спектра Фурье функции подразумевает разложение данной функции в ряд на единственном уровне; число уровней разложения многомасштабного анализа определяется числом пространств , используемых для анализа. Отметим в заключение, что понятие уровня разложения включает, помимо прочего, обозначение пространства , образованного функциями , коэффициенты разложения функции по базису пространства , а также, собственно, функции данного пространства.
3.2. Построение систем вейвлет-функций
Основные принципы построения систем вейвлет-функций в общем случае выглядят следующим образом:
- Выбор скейлинг-функции
такой, что представляет собой ортогональную систему в , удовлетворяющую условиям (3.1), (3.2) и позволяющую осуществлять в гильбертовом пространстве многомасштабный анализ;
- Построение вейвлет-функции
, ортогональной скейлинг-функции ; при этом формирует базис пространства .
- Заключение того факта, что функция
, взятая в гильбертовом пространстве, может быть разложена единственным образом в ряд, сходящийся в :
;
при этом коэффициенты ряда отыскиваются следующим образом:
,
.
Отметим, выражение (3.4) представляет собой негомогенное разложение функции : с целью гомогенизации структуры ряда представляется целесообразным разложение по вейвлет-функциям в виде:
.
Говоря о разложении (3.4), необходимо обратить внимание также на то обстоятельство, что коэффициенты разложения обеспечивают информацией об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты – коэффициенты детализации – информацией о деталях общей формы.
Использование базиса для негомогенного представления функции в пространствах , , в общем, является опциональным. Так, в качестве пространства скейлинг-функций может выступать пространство , где , приводящее разложение (3.4) к виду:
. (3.5)
Очевидно, коэффициенты разложения в ряд по скейлинг-функциям в данном случае могут быть рассчитаны следующим образом:
.
Отметим, принятие здесь и далее (вплоть до гл. 9) тезиса о том, что , является всего лишь упрощением.
Одним из следствий, возникающих при рассмотрении негомогенного разложения функции , является возможность осуществления ортогонального проецирования функции на пространство :
. (3.6)
3.3 Пример
Одним из классических примеров построения многомасштабного анализа в гильбертовом пространстве, помимо анализа в базисе функций Хаара, может служить анализ с использованием идеальных интерполяторов Котельникова. Полагая, что функции из гильбертова пространства в пространстве удовлетворяют условию
,
где суть образ Фурье функции , можно сформулировать теорему, используемую в задачах обработки сигналов (см., например, работe [125]).
Теорема 3.1. Функция может быть восстановлена по совокупности ее дискретных значений тогда и только тогда, когда частота ее дискретизации по меньшей мере вдвое превышает частоту наивысшей гармоники функции:
.
Из формулировки теоремы видно, что пространство образуют функции вида:
, (3.7)
образ Фурье которых .
Нетрудно видеть, что совокупность трансляций формирует ортонормированный базис и, следовательно, позволяет осуществлять многомасштабный анализ в . Другими словами, функция, записанная в виде (3.7), являет собой скейлинг-функцию, тогда как пространство , связанное с ней, представляет пространство, функции которого имеют образ Фурье с носителем, заключенным в пределах . Вообще говоря, пространство объединяет функции, обладающие достаточной регулярностью: как станет ясным из гл. 8, 9, проецирование функции на пространство может быть интерпретировано как сглаживание.
Отметим также, что коэффициенты разложения функции в ряд по базису (3.7) представляют собой ничто иное, как дискретные отсчеты данной функции. Использование отсчетов в качестве спектральных коэффициентов, по большому счету, представляется обстоятельством редким, однако, как будет показано в п. 7.2), существует возможность построения таких вейвлет-функций, например, койфлетов, разложение по базису которых сводится к интерполяции.
\ \
|