![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Выход | ![]() |
Ваш Login: "prodav". |
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox" "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева) В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу 7. Вейвлеты с компактным носителем 7.1. Синтез Добеши Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит И.Добеши, впервые опубликовавшей его в работе [27]. В настоящем параграфе рассматриваются основные положения метода Добеши, приводятся функции Ранее было показано, что выполнение условий леммы 6.3, а также равенств (6.9), (6.14) является достаточным для удовлетворения требований, предъявляемых к скейлинг- и вейвлет-функциям. В настоящем параграфе будем полагать, что данные условия выполняются всюду. Вывод 7.1. Положим, что условия, входящие в формулировку леммы 6.3, полностью удовлетворены, тогда как равенство (6.14) является справедливым. Тогда функция
где Доказательство. В силу своего определения В общем случае функцию
предполагающей, что Введем обозначение
здесь в силу четности
при этом
используя замену переменной
а, следовательно, равенство
при подстановке
являются справедливыми для всех Отметим, необходимые и достаточные условия, накладываемые на полином
в котором Теперь, после произведенных выкладок, становится ясным то обстоятельство, что отыскиваемый полином
причем коэффициенты Определение 7.1. Вейвлет-функции, синтезируемые с использованием выражения (7.5), представляют собой вейвлеты Добеши dbN. Пример 7.1. Положим, в выражении (7.5) Действительно, в данном случае и
Кроме того, в силу выражения (6.5), определяющего правило построения образа Фурье функции
Производя выкладки над данным выражением:
а также считая, что
Как видно, образ Фурье скейлинг-функции свидетельствует о том, что функция db1 представляет собой ни что иное как скейлинг Хаара Пример 7.2. Положим в данном примере Как следует из выражения (7.5), и, следовательно, соответствующая данному случаю функция
Записывая выражение для
легко заметить, что данные коэффициенты, стоящие при комплексных экспонентах
Полагая
при этом Замечание 7.1 о свойствах функций Добеши. Согласно лемме 6.3, носитель скейлинг-функции
тогда как носитель вейвлет-функции
Поскольку также для всех Из примера 7.2 следует тот факт, что вырожденные моменты вейвлет-функции db2 также имеют нулевые значения:
Как показано в работе [28], среди вейвлетов с компактным носителем свойством симметричности обладают лишь функции Хаара (функции Добеши db1). Кроме того, скейлинг- и вейвлет-функции Добеши принадлежат классу Гёльдера
Действительно, в пределе при Пример 7.3. Скейлинг- и вейвлет-функции Добеши db1, db2, db3, db4 показаны на рис. 7.1. Из рисунка видно, что экспонента Гёльдера Рис. 7.1. Скейлинг- и вейвлет-функции Добеши db1, db2, db3, db4. 7.2. Койфлеты Говоря о функциях Добеши, необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: в отличие от функций вейвлет, вырожденные моменты скейлинг-функций не имеют нулевых значений – свойства, весьма желательного в задачах аппроксимации. Дело в том, что наличие у скейлинг-функций нулевых моментов позволяет принимать дискретные отсчеты функции В связи с тем, что наличие у скейлинг-функций моментов, равных нулю, является весьма полезным для ряда приложений, в работе [28] введен новый класс вейвлетов – койфлеты, – скейлинг-функции которых обладают упомянутым свойством. С целью построения койфлетов рассмотрим функцию
где
или в частотной области Причем условие
также для всех Вывод 7.2. Функция
где Доказательство данного вывода полностью повторяет доказательство вывода 7.1. □ Положим, существует некоторое число
Здесь
и
Определение 7.2. Вейвлет-функции, полученные с использованием полинома Замечание 7.2 о свойствах койфлетов.
койфлеты являются несимметричными функциями. (7.19) Пример 7.4. В качестве примера приведем вейвлет-функцию coif3, обладающую 5 вырожденными моментами, такую, что
Отметим также, что коэффициенты Графическое представление функций coif1, coif2, coif3, coif4 приведено на рис. 7.2: здесь каждый койфлет изображен с собственной скейлинг-функцией. Рис. 7.2. Скейлинг и вейвлет-функции койфлет coif1, coif2, coif3, coif4 7.3. Симмлеты Как показано в работе [28], скейлинг- и вейвлет-функции не могут обладать свойством симметричности при условии компактности их носителя: исключение здесь составляет вейвлет-функция Хаара. Однако для практических целей таких, как, например, обработка изображений, наличие симметричности оказывается крайне желательным обстоятельством: правда, симметричность функций становится возможной лишь при условии минимальности фазы Коэффициенты Замечание 7.3 о свойствах симмлетов.
симмлеты являются несимметричными функциями. (7.23) Пример 7.5. Приведем в качестве заключительного примера функцию sym8. Данная вейвлет-функция имеет 7 вырожденных моментов, причем
Первые четыре функции симмлет показаны на рис. 7.3. Рис. 7.3. Скейлинг- и вейвлет-функции sym1, sym2, stm3, sym4. В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу |
|