Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

11.6 Тайные неравенства

Вместо минимаксных критериев, которые следует рассматривать для описания оценок функций плотности, можно обратиться к среднеквадратическим ошибкам (подробно об этом см., например, в [65, 66]). Использование таких ошибок позволяет, в частности, показать, что локальный трешолдинг не в состоянии достигнуть эффективного баланса между смещенностью и дисперсией коэффициентов на первом из уровней разложения. Такой баланс может быть достигнут лишь в том случае, когда выбран наилучший уровень разложения. Как раз напротив, блочный трешолдинг позволяет сохранить баланс между смещением и дисперсией с сохранением адаптивности, теряемой в предыдущем случае [62, 64].

Основные принципы работы трешолдинга можно показать на основе концепции "Оракул", предложенной Я.Джонстоном и Д.Донохо. Предположим, имеет место задача оценивания некоторого числа посредством использования наблюдений за ним. С этой целью представляется необходимым наличие семейства оценок , зависящих от некоторого тюнингового параметра . Как можно догадаться, типичным примером данной ситуации может служить оценивание плотности, тюнинговым параметром для которой служит некоторое окно наблюдения. Было бы откровенно здорово, если бы каждый раз, когда требовалось определить число , являлся некий оракул, который говорил, какое значение для достижения идеального риска

необходимо.

Скажем при этом, что оракул пользуется неравенством

,

в котором искомая оценка ведется себя в некоторой зависимости от коэффициента .

Рассмотрим модель белого гауссова шума, положив, что

,

,

и составим сумму

,

в которой коэффициенты не являются стохастическими, но принадлежат интервалу [0, 1]. В итоге, знание сводится к фиксированию момента, когда =1. Действительно,

.

Теперь, глядя на данное неравенство, оракул должен лишь сказать, когда наступил момент и . Можно показать также, что мягкий трешолдинг, например, удовлетворяет неравенству оракула в том случае, когда

.

Более подробно об оракуле можно узнать в работе [63].

11.7 Библиографические замечания

В связи с тем, что область статистических приложений вейвлет-функций растет с каждым днем все интенсивнее, достаточно трудно охватить библиографию, посвященную данному вопросу. Тем не менее, выскажем надежду на то, что даже краткий обзор основных публикаций окажется весьма полезным для читателей.

Известно, что авторы работ [46, 47] первыми использовали вейвлеты в статистике, введя линейные вейвлет-оценки плотности и исследовав среднеквадратически их поведение.

Глубокую взаимосвязь между линейными оценками и пространствами Бесова показали авторы [85, 86, 79]. В то же время, Д.Донохо и Я.Джонстоун (D. Donoho, I. Johnstone) развили теорию трешолдинга как таковую и опубликовали ее в работах [39, 35, 78]. Далее в этом направлении работали авторы [32 - 45].

Среди других ученых, исследовавших вопрос и неупомянутых в данной книге, были [3 - 5], доказавшие асимптотическую нормальность оценок плотностей, а также разработавшие различные формы мягкого трешолдинга.

Авторы [51, 137] применили трешолдинг для доказательства или опровержения гипотез.

В работах [65 - 68] исследовано поведение нелинейных оценок в различных ситуациях, а также их локальная адаптивность. Смысл такой адаптивности, как показали авторы, состоит в приспосабливаемости оценок к различным локальным сингулярностям (разрывам, выбросам, точкам склеивания и т.п.) при сохранении скоростей сходимости.

Регрессионные оценки в условиях стационарного коррелированного шума изучены в [80].

Авторы [109, 116] реализовали алгоритмы трешолдинга, соответствующие кроссвалидации.

Теория точного риска, помогающая теперь понять образцы поведения оценок с мягким и жестким трешолдингом, развита в [102].

Фундаментальным можно назвать труд [], в котором развиты механизмы мягкого трешолдинга [18].

Некоторая библиография содержится в статье [5], а также книге [122].

В оглавление \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList