![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Выход | ![]() |
Ваш Login: "prodav". |
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox" "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева) В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу 1.3. Сжатие данных Помимо упомянутой ранее способности осуществлять временную локализацию, вейвлеты позволяют добиться значительных упрощений при решении задачи приближения: число спектральных коэффициентов в данном случае оказывается много меньшим по сравнению с числом спектральных коэффициентов Фурье. Пример 1.1. Предположим, существует некоторая ступенчатая функция
разложение которой в ряд Фурье имеет вид:
где Из рис. 1.10, на котором изображена ступенчатая функция и ее
приближение рядом Фурье, включающим 5 членов разложения, видны сильные
осцилляции вокруг точки разрыва. Действительно, в разложении (1.1)
коэффициенты Рис. 1.10. Ступенчатая функция и ее приближение рядом Фурье, содержащим 5 членов Wavhkpt110.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Рис. 1.11. Ступенчатая функция и ее приближение рядом Фурье, 50 членов Wavhkpt111.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Применение гибких вейвлет-функций позволяет подойти к задаче аппроксимации сингулярностей более квалифицированно, при этом в противоположность анализу Фурье приближающий вейвлет-ряд может состоять лишь из одного члена. С целью получения подобного выигрыша достаточно использовать базис вейвлет-функций, имеющий сильную осциллирующую природу и малый, может быть, компактный носитель. Таким базисом служит, например, базис Хаара. Данный базис может быть сформирован на основе материнской вейвлет-функции
при условии, что
Здесь Теперь возможность приближения ступенчатой функции посредством лишь двух вейвлет-коэффициентов становится очевидной, тогда как причины возникновения осцилляций вокруг сингулярности функции при ее приближении рядом Фурье понятными. Пример 1.2. Рассмотрим бигармоническую нестационарную функцию
число эквидистантных отсчетов которой равно 512 (здесь символ Рис. 1.12. Бигармоническая нестационарная функция. Wavhkpt112.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Нетрудно догадаться, что в разложении данной функции в ряд Фурье помимо
гармоник Из рис. 1.13, на котором представлено вейвлет-разложение исходной функции, следует, что на более низком уровне разложения активно проявляет себя низкочастотная доминанта, тогда как поведение высокой отчетливо видно на третьем, более высоком уровне. Функция, восстановленная с использованием восемнадцати коэффициентов
вейвлет-разложения, показана в верхней части рис. 1.14. Как видно,
ограничение числа коэффициентов разложения, а также использование
негладких базисных функций (db4) приводит к появлению на кривой зазубрин.
Скажем полноты ради, что значение порога, рассчитанного для отбора
коэффициентов разложения, здесь принято равным Технология сжатия информации с использованием вейвлет-функций оказалась наиболее привлекательной для обработки изображений: собственно сжатия, восстановления и фильтрации. Так, на рис. 1.15 показана эмблема семинара “Париж-Берлин”, снятая на цифровую фотокамеру, а затем сжатая в 130 раз в базисе функций Хаара. Эффективность сжатия эмблемы является очевидной: при условии, что размер исходного изображения составляет 256*256=65536 точек, тексты “seminaire Paris-Berlin” и “Seminar Berlin-Paris” остаются вполне разборчивыми для чтения, несмотря на некоторые искажения. Число вейвлет-коэффициентов, использованных для синтеза изображения, составляет соответственно 500. Пути повышения сходимости приближений обсуждаются в гл. 8, 9. Рис. 1.13. Время-частотная плоскость для бигармонической функции. Wavhkpt113.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Рис. 1.14. Приближение бигармонической функции разложением в вейвлет-ряд и ее времячастотная плоскость. Wavhkpt114.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Рис. 1.15. Эмблема семинара, восстановленная с использованием 500 коэффициентов разложения. В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу |
|