Rambler's Top100 II Всероссийская конференция пользователей MATLAB, 25-26 мая 2004 года >>
На первую страницу
Рубрика Matlab&Toolboxes
Российские MATLAB-разработки
Ваш Login: "prodav".

Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

2. Система функций Хаара

Функции Хаара являются старейшими представителями вейвлет-функций, известными с 1910 года. Рассмотрим данные функции в качестве примера построения систем вейвлет-функций на множестве .

Пусть представляет собой пространство всех комплекснозначных функций вещественной переменной, суммируемых с квадратом:

.

Фактически это означает, что в данном пространстве введено скалярное произведение, т.е.

,

причем символ * означает комплексное сопряжение функции.

Вообще говоря, в большинстве задач инженерной практики пространство – Гильбертово пространство – можно рассматривать как пространство, область значений функций которого принадлежат .

Система функций является ортонормированной, если функции этой системы попарно ортогональны:

,

где – функция Дирака. При этом система образует ортонормированный базис пространства , если функция может быть разложена в ряд по функциям этой системы:

,

причем энергия спектральных коэффициентов также ограничена:

.

Рассмотрим в пространстве функцию такую, что на интервале , . Очевидно, данная функция может быть разложена в ряд по базису функций , заданных как

, (2.1)

т.е. , причем такой ряд сходится в и .

Замечание 2.1. На основании вышеизложенного можно утверждать, что система , в которой , представляет собой ортонормированный базис в .

Предположим теперь, что некоторую функцию , принимающую постоянные значения на интервалах , , можно разложить в ряд по функциям , образует базис пространства . Тогда, как нетрудно догадаться, функция и .

Продолжая процесс перехода от пространства к пространству , можно заметить, что в общем случае данные пространства оказываются вложенными:

,

при этом функции, образующие их, имеют вид: , где – номер пространства.

Отметим, что аналогичным образом можно построить цепь пространств для всех . Тогда, полагая пространства вложенными друг в друга и , можно построить пространство, аппроксимирующее Гильбертово.

Утверждение 2.1. Объединение пространств всюду плотно в .

Доказательство предложенного утверждения основывается на том факте, что всякая функция , взятая в гильбертовом пространстве, может быть аппроксимирована кусочно-постоянными функциями , где суть некоторые сегменты, тогда как собственно функция , – аппроксимирована суммой функций , взятых на интервалах . Другими словами, система функций образует линейную оболочку, также плотную в , однако базиса в гильбертовом пространстве не формирует.

?

С целью ортогонализации данной системы функций введем в рассмотрение пространство , дополняющее пространство до пространства :

или, что тоже самое, . Иначе говоря, всякий элемент пространства может быть представлен в виде суммы элементов, ортогональных друг другу, таких, что , . Очевидно, представляет собой линейное пространство в , заданное некоторым базисом , например,

. (2.2)

Утверждение 2.2. Система функций таких, что , является ортонормированным базисом в .

Сказанное означает, что , и всякая функция может быть разложена в ряд по функциям данного пространства единственным образом:

,

причем такой ряд сходится и энергия его спектральных коэффициентов конечна.

С целью проведения доказательства данного утверждения рассмотрим следующие вопросы:

  • представляет собой ортонормированную систему, поскольку носители функций и не содержат общих точек в случаях, когда , при этом ;
  • функции системы ортогональны функциям, образующим пространство , т.е.
  • для всех , . Очевидно, в том случае, если , носители функций и не имеют общих точек и их скалярное произведение равно нулю. При ортогональность функций также является очевидной:

    по определению ;

  • всякая функция может быть разложена в ряд по функциям единственным образом. Действительно, в том случае, если существует разложение функции в ряд по функциям :

,

причем и такой ряд сходится, то разложение функции в ряд по базису является единственным. Дело в том, что всякая функция из системы может быть представлена в виде линейной комбинации функций , для любого значения . Проиллюстрируем сказанное примерами, соответствующими случаям и :

;

.

?

Итак, пространство представляет собой ортогональное дополнение пространства до пространства . Нетрудно догадаться, что утверждение 2.2 является справедливым также для всех , в которых есть ортогональное дополнение пространства до пространства , причем система , функции которой имеют вид , является ортонормированным базисом пространства .

Вообще говоря, пространство представляет собой ни что иное, как совокупность дополнений пространства , сформированную пространствами , : действительно,

или в более компактном виде:

.

Теперь наряду с тем фактом, что , справедливость которого показана ранее, можно утверждать, что и, таким образом, всякая функция может быть разложена в ряд по функциям :

. (2.3)

Здесь и представляют собой коэффициенты разложения по функциям соответственно, причем ряд (2.3) сходится.

Вывод 2.1. Система функций является ортонормированным базисом в пространстве .

Замечание 2.2. Графические иллюстрации, сопровождающие примеры гл. 1, содержат изображение коэффициентов разложений исследуемых данных.

Замечание 2.3. Приближение функции , записываемое в виде (2.3), обладает свойством временной и частотной локализации. Действительно, суммирование членов разложения по переменной соответствует локализации сингулярностей во временной области, поскольку подразумевает транслирование функций , вдоль оси абсцисс. В то же время, суммирование членов ряда по позволяет определить спектральный состав функции.

Итак, выражение (2.3) представляет собой вейвлет-разложение функции, характер которого определяется выбором базисных функций , . Нетрудно догадаться, что возможно построение других базисов анализа (данный вопрос будет обсуждаться позднее). Отметим, функция носит название скейлинг-функции, тогда как – материнской функции вейвлет.

Замечание 2.4. Материнская вейвлет-функция может быть определена отличным способом, например, в виде

.

Вообще говоря, существует множество вейвлет-функций, ортогональных функции, заданной выражением (2.1).

Приближение чирпа, введенного в примере 1.2, несколькими членами разложения (2.3) приведено на рис. 2.1. Точнее, в нижней части рисунка показаны коэффициенты разложения чирпа по базисным функциям Хаара, соответствующие уровням , тогда как в верхней части рисунка, собственно, результат приближения в базисе Хаара. Как видно, данный базис не обеспечивает удовлетворительных результатов аппроксимации гладкой низкочастотной составляющей чирпа; в то же время последовательность импульсов, наблюдаемых на интервале приближения, позволяют судить о присутствии высоких частот на данном интервале. В связи с этим возникает вопрос выбора базисных функций, обеспечивающих лучшие результаты приближения.

Рис. 2.1. Синусоида, аппроксимированная функциями Хаара

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


О получении локальных копий сайтов
  I Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
  II Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2004 г.)
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro   
E-mail: info@matlab.ru   
  Информация на сайте была обновлена 16.08.2004 Copyright 2001-2004 SoftLine Co 
Наши баннеры  

 

Rambler's Top100    TopList