|
Раздел "Обработка сигналов и
изображений\Wavelet Toolbox"
"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод
К.А.Алексеева)
\ \
10. Статистические приложения
вейвлет-функций
10.5 Асимптотические свойства пороговых
вейвлет-оценок
Займемся в данном разделе изучением -рисков, характеризующих вейвлет-оценки, введенные
посредством (10.12). Так, ранее предполагалось, что в данном случае
неизвестная функция плотности принадлежит пространству Бесова. Сравним затем получаемый
результат с результатом (10.20), построенном на основании теоремы 10.3, и,
таким образом, получим ответ на вопросы 10.1, 10.5.
Положим, как и ранее в теореме 10.3, что
, 
при условии, что
.
Положим также, что параметры , характеризующие пороговую вейвлет-оценку (10.16),
удовлетворяют условию:
, |
(10.29) |
, |
(10.30) |
. |
(10.31) |
Теорема 10.4. Положим, что и представляет собой оценку (10.12) такую, что
- скейлинг-функция
удовлетворяет условиям теоремы 9.4 для некоторого
целого ;
при условии использования порога ,
- утверждения (10.29)-(10.31) удовлетворены полностью для
.
Тогда для всякой достаточно большой константы имеет место следующее утверждение:

в котором представляют собой некоторые положительные константы,
зависящие от .
Замечание 10.5.
- в пространственном случае скорость сходимости является известной,
поскольку теоремы 10.3, 10.4 согласуются. Вейвлет-оценка в данном случае
достигает оптимальной скорости сходимости, равной
;
- на границе пространственной зоны при
нижняя и верхняя значения различаются на некоторый
логарифмический множитель. Поскольку данный результат может быть
соотнесен с результатом, полученным для белого гауссова шума, верхнее
значение, похоже, оказывается корректным , тогда как нижнее (10.17) -
чрезмерно оптимистичным. В рассматриваемом случае скорость сходимости
оказывается полностью зависящей от параметра ;
- в регулярном случае упомянутые теоремыне находят согласия, поэтому
здесь логарифмическая поправка, необходимая для выбора порога,
оказывается более чем уместной. Однако, можно доказать, что данную
поправку можно и не применять, если использовать несколько отличный
способ рассчета порога:
[29].
Замечание 10.6. В выводе 10.3 было доказано, что в
случае, когда имеет место равенство:
.
Однако из выражения (10.19), а также теоремы 10.4 можно увидеть, что
при имеет место строгое неравенство:
.
Замечание 10.7. Константа в определении порога (10.31) может быть выражена
посредством параметров . Очевидно, данная константа не зависит от параметров . Не будем, между тем, останавливаться на
детальном обсуждении формы выражения (10.31), оставив данную обязанность
на главу 11.
Замечание 10.8. Предположение, высказанное применительно
к скейлинг-функции в теореме 10.4, честно говоря, является общим: так,
например, данное предположение может быть удовлетворено в том случае, если
скейлинг-функция является ограниченной, имеет компактный носитель, причем
ограниченными являются также ее производные . Известно, что такие предположения выполняются для
большинства известных вейвлетов высоких порядков: Добеши, койфлетов,
симмлетов (см. главу 7).
Собирая воедино результаты теорем 10.3, 104, а также замечаний 10.5,
10.6, можно ответить на вопросы 10.1, 10.5:
- оптимальная скорость сходимости в классе Бесова
есть
в регулярном случае ;
в пространственном случае ;
- существует некоторая неопределенность на границе
: здесь скорость сходимости определяется как
, при этом проблема поиска поправки остается открытой.
- вейвлет-оценка (10.12) достигает оптимальной скорости сходимости
(в ряде случаев при введении некоторой поправки).
Доказательство теоремы 10.4 легко отыскать в книге [43], поэтому в
данном месте его приводить не имеет смысла. Обратимся лучше к специальному
случаю поиска предела риска: приводимые выкладки позволят сформулировать
основные этапы доказательства следующего утверждения.
Положим, что
, |
(10.32) |
, |
(10.33) |
|
(10.34) |
для достаточно больших значений С.
Как видно, совокупность условий (10.32) подразумевает, что и, следовательно, исследование проводится в
промежуточной зоне. Тогда, можно утверждать, что нижняя граница
минимаксного риска в свете теоремы 10.3 имеет вид:
.
Следующее утверждение показывает, что наличие поправочного коэффициента
не изменяет асимптотического характера поведения вейвлет-оценки.
Утверждение 10.3. Положим, представляет собой оценку (10.12) такую, что
скейлинг-функция и вейвлет-функция являются ограниченными и имеют
компактный носитель, при этом для некоторого целого все также являются ограниченными;
при условии использования порога ,
утверждения (10.29)-(10.31) удовлетворены полностью для .
Тогда для всякого имеет место следующее утверждение:
,
в котором .
Доказательство. Прежде всего отметим, что выбор порога
не оказывает большого влияния на оценку в виду
того обстоятельства, что для всяких существуют константы : (данный факт будет использован в заключении
доказательства.
Покажем также, что функции являются ограниченными: , причем данная константа зависит лишь от . Кстати говоря, из констант может быть составлена
последовательность в при всех (вывод 9.2). Кроме того, отметим, что в виду , можно получить:
|
(10.35) |
где . Заметим также, что , причем здесь представляет собой максимальную длину носителя
скейлинг- и вейвлет-функций (см. замечание 10.1).
Члены суммы (10.35) определяются следующим образом. Во-первых,
ввиду утверждения 10.1 и выражения (10.33) имеет место факт:
. |
(10.36) |
Положения 1, 3 вывода 9.2 позволяют получить, что для всех , причем . Таким образом, всякая функция , принадлежащая в , также принадлежит в . Следовательно, согласно теореме 9.6, можно заключить,
что коэффициенты детализации функции удовлетворяют условию В3:
.
Далее,
|
(10.37) |
при использовании (10.33).
Оценивание осуществляется следующим образом:
,
.
Отметим при этом, что
, |
(10.38) |
,
а также, что в случае, когда , то , . Следовательно,
. |
(10.39) |
Используя выражения (10.38), (10.39), можно получить следующее:
|
(10.40) |
Ясно, что
.
Более того, использование неравенства Маркова позволяет также показать,
что
,
и, следовательно,
|
(10.41) |
что видно из выражений (10.32), (10.33), а также условия
, |
(10.42) |
вытекающего из того факта, что и теоремы 9.6.
Далее, поскольку , имеет место следующее:
|
(10.43) |
Обозначим теперь через последний член выражения (10.40) и посмотрим, что:

Используя неравенство Коши-Шварца, можно записать следующий
результат:
|
(10.44) |
Лемма 10.3 (Неравенство Бернштейна). Положим, представляют собой случайные числа такие, что их
, . Тогда

для любого .
Применяя лемму 10.3 к выражению , а также принимая во внимание тот факт, что , можно заключить, что для всякого достаточно
большого 
.
Подставляя данное выражение в формулу (10.47), получим следующий
результат:
, (10.45)
в котором , о чем упомянуто в начале доказательства.
Окончание доказательства утверждения сводится к простому объединению
выражений (10.35) - (10.37), (10.40), (10.41), а также (10.43) -
(10.45).
□
\ \ |