![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Выход | ![]() |
Ваш Login: "prodav". |
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox" "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева) В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу 9. Аппроксимация в пространствах Бесова 9.1 Введение Настоящая глава посвящена проблеме аппроксимации функций в пространствах Бесова. Несомненным достоинством пространств Бесова по сравнению с пространствами Соболева является бόльшая общность описания гладкости функций, а также возможность описания функций посредством коэффициентов их разложения по базису вейвлет: вспомним, пространства Соболева такую возможность не допускают. В связи с этим скажем, что пространства Бесова являют собой весьма удобное средство вейвлет-анализа кривых. Общие вопросы построения пространств Бесова можно найти в работах [8, 9, 31, 119, 127, 145]. 9.2 Пространства Бесова В настоящем параграфе рассмотрим пространства Бесова, для чего введем в рассмотрение характеристику функций - модуль непрерывности первого и второго порядков. Определение 9.1 модуля непрерывности. Положим, существует некоторая функция![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Лемма 9.1. Для всякой функции 1) 2) 3) 4) 5) 6) Доказательство. 1) Доказательство первого утверждения является очевидным из определения модуля непрерывности; 2) Поскольку
Полагая 3) Доказательство следующего неравенства является справедливым в силу
того факта, что 4) Поскольку
>Таким образом, 5) В том случае, если 6) В том случае, если > С другой стороны, > и > > □ В настоящей главе используются пространства Положим, существует некоторое множество действительных чисел Иначе говоря, пространство Аналогичным образом можно определить пространства Следующая лемма являет собой дискретный аналог леммы 8.2. Лемма 9.2. Положим, существуют множества
обеспечивают следующую принадлежность Доказательство. Рассмотрим функцию Ясно, что Определение 9.2. В том случае, если Замечание 9.1. Здесь следует вспомнить неравенство Харди:
если для всех для случая если
если Другим примером невозможности подмены является классическое броуновское
движение. Действительно, различные фрагменты движения почти удовлетворяют
условию Гёльдера с показателем Определение 9.2 можно дискретизировать, например, посредством следующего определения. Определение 9.3. Пространство Бесова
Отметим, эквивалентность определений 9.2, 9.3 имеет место, благодаря
тому факту, что функция и
Замечание 9.2. При рассмотрении леммы 9.2 можно заметить,
что для 9.3 Разложение Литтлвуда-Пэли В настоящем параграфе представляется целесообразным охарактеризовать пространства Бесова посредством использования разложения Литтлвуда-Пэли. Кроме того, кажется полезным приведение некоторых элементов теории распределения Шварца. Обозначим пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным
носителем через Положим, существует некоторая функция
Рис. 9.1. Образ Фурье функции Рис. 9.2 Образ Фурье функции Из (9.1) следует, что для всякой функции
Переписывая во временной области данное выражение в операторной форме
где
для любой функции Отметим, выражения (9.1) - (9.4) представляют собой основные выражения, характеризующие разложение Литтвуда-Пэли. Лемма 9.3 (теорема Бернштейна). Положим, существует
функция Доказательство. Рассмотрим функцию Лемма 9.4. Положим, существует функция
Доказательство. В случае разложения Литтлвуда-Пэли
функции
позволяющее считать, что
Поскольку □ Теорема 9.1. В том случае, если
Доказательство необходимости (9.6). Предположим, что
функция
Следовательно,
причем здесь Согласно лемме 8.2,
Здесь правая часть неравенства (9.7) получена интегрированием по частям
и использованием того факта, что
что, согласно леммам 8.1, 9.1, обеспечивает в итоге:
Здесь Таким образом, на основании выражений (9.7), (9.8) можно показать, что
причем Доказательство достаточности (9.6). Положим, что
что в свете леммы 8.2 даёт:
В частности, из этого следует, что
и на основании леммы 9.4 Теперь остаётся доказать, что
в которой
и
Более тонким доказательство является для случая
в которой
где Привлекая к доказательству выражение (9.12) и используя при этом лемму
9.4, для
Кроме того, видно, что
где С другой стороны, на основании леммы 9.1 (п.1) и выражения (9.11)
где Наконец, основания, использованные для вывода выражений (9.11), (9.15), дают:
где Финалом доказательства является совместное рассмотрение выражений (9.17) - (9.20), обеспечивающих следующий вывод: или, при добавлении к рассмотрению выражений (9.13), (9.14) вывод
что доказывает теорему. □ Теорема 9.1 позволяет получить следующую характеристику пространств Бесова. Теорема 9.2. Положим![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
причем
где Замечание 9.3. Равенство (9.21) является аналогичным
разложению Литтлвуда-Пэли. Точнее говоря, Доказательство. Необходимость является прямым следствием
теоремы 9.1 при условии, что Покажем, что условия (9.21) и (9.22) являются необходимыми для того,
чтобы для любых
Теперь можно записать, что
Оценим первую сумму в выражении (9.24):
где, как и в доказательстве теоремы 9.1,
Это означает, что
Собирая вместе выражения (9.23), (9.24), легко получить выражение (9.6)
и таким образом доказать, что 9.4 Теорема аппроксимации в пространствах Бесова Результат, представленный в данном параграфе, является аналогом теоремы 8.1 об аппроксимации в пространствах Соболева, изложенной ранее. Теорема 9.3. В том случае, если ядро аппроксимации Доказательство. Положим, ряд
на основании выполнения условия
причем носитель образа Фурье функции
где Поступая аналогичным теореме 8.1 образом, запишем:
где Положим, параметр
Теперь, используя данное неравенство, можно записать:
□ Замечание 9.4. Следующее выражение можно получить непосредственно из выражения (9.30):
доказывающее теорему 9.3 для случая 9.5 Вейвлеты и аппроксимация в пространствах Бесова В настоящем параграфе рассмотрены аналогии между вейвлет-разложением функций и разложением Литтлвуда-Пэли, наблюдающиеся при некоторых условиях. Пусть, как и ранее, скейлинг и вейвлет-функции определяются следующим образом:
где
в котором коэффициенты аппроксимации и детализации рассчитываются как
Рассмотрим ядро аппроксимации
показывающий, помимо прочего, тот факт, что
Положим, Применяя утверждение 8.3 к неравенству Рисса, можно получить:
Теорема 9.4. В том случае, если 1) 2) Доказательство. 1). Первое утверждение теоремы является прямым следствием теоремы 9.3,
поскольку выполнение условия 2). На основании выражения (9.34) и замечания 8.3 можно записать, что
С другой стороны, на основании выражения (9.35) и предыдущего доказательства можно записать, что
□ Замечание 9.5. Более грубый результат может быть получен
в случае, если скейлинг-функция удовлетворяет условию
при
где
□ Как видно, результат теоремы 9.4. является аналогичным результату,
полученному для проблемы аппроксимации в пространстве Соболева:
предположения и требования, предъявляемые к скейлинг-функции, в доказанных
теоремах являются схожими. Действительно, для всех
где
где Необходимо отметить, что утверждения, полученные в виде (9.37), (9.38), не могут быть обратными: дело в том, что пространства Соболева не могут быть охарактеризованы посредством вейвлет-коэффициентов. В то же время, пространства Бесова позволяют принимать подобные характеристики. Теорема 9.5. В том случае, если скейлинг-функция 1) 2) Доказательство. 1). Положим, что
где Далее, можно показать, что можно отыскать такие коэффициенты
поскольку в общем случае
но поскольку
то в нотации норм,
Принимая во внимание выражения (9.34), (9.35), можно записать данное выражение также в следующем виде:
Теперь остаётся лишь показать, что выражения (9.39) и (9.41)
обеспечивают справедливость выражения (9.22), что, в свою очередь, делает
справедливым утверждение 2). Предположения, вынесенные в формулировку теоремы, совместно с
выражениями (9.34), (9.35) предполагают, что и ряд для всякого
где Окончание доказательства подразумевает лишь использование части 1) доказательства настоящей теоремы. □ Теорема 9.6. В том случае, если скейлинг-функция В1) В2) В3) Доказательство. Импликации В2)=>В1), В3) =>В1)
следуют непосредственно из теоремы 9.5, поскольку условие В то же время импликации В1)=>В2), В1) =>В3) следуют из теоремы
9.4, которая позволяет также утверждать, что □ Вывод 9.1. Руководствуясь предположениями, высказанными
при формулировании теоремы 9.6, можно утверждать, что норма функции в
пространстве Бесова
в которой
Пример 9.1. С целью корректной аппроксимации некоторой
функции В заключение необходимо отметить, что описание пространства Бесова в
терминах коэффициентов разложения возможно лишь при использовании
регулярных вейвлетов. Действительно, при использовании результатов теоремы
9.6 можно увидеть, что скейлинг-функция Итак, можно, наконец, показать, что часть промежуточных теорем может быть доказана на основании приведенных уже результатов. Вывод 9.2. Положим, 1) 2) 3) 4) В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу |
|