|
Раздел "Обработка
сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"
"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)
\ \
2. Система функций Хаара
Функции Хаара являются старейшими представителями вейвлет-функций, известными с 1910 года. Рассмотрим данные функции в качестве примера построения систем вейвлет-функций на множестве .
Пусть представляет собой пространство всех комплекснозначных функций вещественной переменной, суммируемых с квадратом:
.
Фактически это означает, что в данном пространстве введено скалярное произведение, т.е.
,
причем символ * означает комплексное сопряжение функции.
Вообще говоря, в большинстве задач инженерной практики пространство – Гильбертово пространство – можно рассматривать как пространство, область значений функций которого принадлежат .
Система функций является ортонормированной, если функции этой системы попарно ортогональны:
,
где – функция Дирака. При этом система образует ортонормированный базис пространства , если функция может быть разложена в ряд по функциям этой системы†:
,
причем энергия спектральных коэффициентов также ограничена:
.
Рассмотрим в пространстве функцию такую, что на интервале , . Очевидно, данная функция может быть разложена в ряд по базису функций , заданных как
, (2.1)
т.е. , причем такой ряд сходится в и .
Замечание 2.1. На основании вышеизложенного можно утверждать, что система , в которой , представляет собой ортонормированный базис в .
Предположим теперь, что некоторую функцию , принимающую постоянные значения на интервалах , , можно разложить в ряд по функциям , образует базис пространства . Тогда, как нетрудно догадаться, функция и .
Продолжая процесс перехода от пространства к пространству , можно заметить, что в общем случае данные пространства оказываются вложенными:
,
при этом функции, образующие их, имеют вид: , где – номер пространства.
Отметим, что аналогичным образом можно построить цепь пространств для всех . Тогда, полагая пространства вложенными друг в друга и , можно построить пространство, аппроксимирующее Гильбертово.
Утверждение 2.1. Объединение пространств всюду плотно в .
Доказательство предложенного утверждения основывается на том факте, что всякая функция , взятая в гильбертовом пространстве, может быть аппроксимирована кусочно-постоянными функциями , где суть некоторые сегменты, тогда как собственно функция , – аппроксимирована суммой функций , взятых на интервалах . Другими словами, система функций образует линейную оболочку, также плотную в , однако базиса в гильбертовом пространстве не формирует.
?
С целью ортогонализации данной системы функций введем в рассмотрение пространство , дополняющее пространство до пространства :

или, что тоже самое, . Иначе говоря, всякий элемент пространства может быть представлен в виде суммы элементов, ортогональных друг другу, таких, что , . Очевидно, представляет собой линейное пространство в , заданное некоторым базисом , например,
. (2.2)
Утверждение 2.2. Система функций таких, что , является ортонормированным базисом в .
Сказанное означает, что , и всякая функция может быть разложена в ряд по функциям данного пространства единственным образом:
,
причем такой ряд сходится и энергия его спектральных коэффициентов конечна.
С целью проведения доказательства данного утверждения рассмотрим следующие вопросы:
представляет собой ортонормированную систему, поскольку носители функций и не содержат общих точек в случаях, когда , при этом ;
- функции системы
ортогональны функциям, образующим пространство
, т.е.

для всех , . Очевидно, в том случае, если , носители функций и не имеют общих точек и их скалярное произведение равно нулю. При ортогональность функций также является очевидной:

по определению ;
- всякая функция
может быть разложена в ряд по функциям единственным образом. Действительно, в том случае, если существует разложение функции в ряд по функциям
:
,
причем и такой ряд сходится, то разложение функции в ряд по базису является единственным. Дело в том, что всякая функция из системы может быть представлена в виде линейной комбинации функций , для любого значения . Проиллюстрируем сказанное примерами, соответствующими случаям и :
;
.
?
Итак, пространство представляет собой ортогональное дополнение пространства до пространства . Нетрудно догадаться, что утверждение 2.2 является справедливым также для всех , в которых есть ортогональное дополнение пространства до пространства , причем система , функции которой имеют вид , является ортонормированным базисом пространства .
Вообще говоря, пространство представляет собой ни что иное, как совокупность дополнений пространства , сформированную пространствами , : действительно,

или в более компактном виде:
.
Теперь наряду с тем фактом, что , справедливость которого показана ранее, можно утверждать, что и, таким образом, всякая функция может быть разложена в ряд по функциям :
. (2.3)
Здесь и представляют собой коэффициенты разложения по функциям соответственно, причем ряд (2.3) сходится.
Вывод 2.1. Система функций является ортонормированным базисом в пространстве .
Замечание 2.2. Графические иллюстрации, сопровождающие примеры гл. 1, содержат изображение коэффициентов разложений исследуемых данных.
Замечание 2.3. Приближение функции , записываемое в виде (2.3), обладает свойством временной и частотной локализации. Действительно, суммирование членов разложения по переменной соответствует локализации сингулярностей во временной области, поскольку подразумевает транслирование функций , вдоль оси абсцисс. В то же время, суммирование членов ряда по позволяет определить спектральный состав функции.
Итак, выражение (2.3) представляет собой вейвлет-разложение функции, характер которого определяется выбором базисных функций , . Нетрудно догадаться, что возможно построение других базисов анализа (данный вопрос будет обсуждаться позднее). Отметим, функция носит название скейлинг-функции, тогда как – материнской функции вейвлет.
Замечание 2.4. Материнская вейвлет-функция может быть определена отличным способом, например, в виде
.
Вообще говоря, существует множество вейвлет-функций, ортогональных функции, заданной выражением (2.1).
Приближение чирпа, введенного в примере 1.2, несколькими членами разложения (2.3) приведено на рис. 2.1. Точнее, в нижней части рисунка показаны коэффициенты разложения чирпа по базисным функциям Хаара, соответствующие уровням , тогда как в верхней части рисунка, собственно, результат приближения в базисе Хаара. Как видно, данный базис не обеспечивает удовлетворительных результатов аппроксимации гладкой низкочастотной составляющей чирпа; в то же время последовательность импульсов, наблюдаемых на интервале приближения, позволяют судить о присутствии высоких частот на данном интервале. В связи с этим возникает вопрос выбора базисных функций, обеспечивающих лучшие результаты приближения.

Рис. 2.1. Синусоида, аппроксимированная функциями Хаара
\ \
|