![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Выход | ![]() |
Ваш Login: "prodav". |
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox" "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева) В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу 1.1. Что предлагают нам вейвлеты? Статистика экспериментальных данных в большинстве своем обнаруживает нестационарность природы того или иного явления: нерегулярные всплески высокой частоты сменяются в данных гладкими низкочастотными волнами, при этом за регулярными структурами вновь следуют высокочастотные осцилляции. Понять причины возникновения тех или иных всплесков, локализовать и идентифицировать их природу с недавних пор помогают вейвлеты (от англ. wavelet – волночка, всплеск). Свойства вейвлет-функций заставляют стоять вейвлет-анализ несколько особняком: в отличие от анализа Фурье анализ, построенный на основе вейвлет-функций, позволяет локализовать не только частотную составляющую информации как таковую, но также ее местоположение в данных. Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами. Так, на рис. 1.1 приведено 25434 значения обменного курса немецкой марки (DEM) и американского доллара (USD), имевших место в течение периода времени с 1 октября 1992 года по 30 сентября 1993 года (по данным агентства Рейтер; подробнее см. в [14, 58]). На графиках ось абсцисс соответствует времени регистрации курса валют, тогда как ось ординат – уровню спроса на валюту в течение того или иного квартала. Рис. 1.1. Курс обмена валют DEM/USD Wavhkpt11.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Рассмотрим поведение обменного курса в течение первого квартала более подробно (см. рис. 1.2). Курс валют здесь лежит между вторым и третьим уровнями, однако в ряде случаев оказывается нестабильным: об этом свидетельствуют узкие всплески спроса на фоне его каждодневных колебаний. Воспользуемся теорией вейвлет-анализа для изучения динамики курса валют, например, в течение октября месяца. Первые 1024 значения обменного курса, соответствующие двум неделям торгов, приведены в верхней части рис. 1.3. На рисунке показаны также коэффициенты вейвлет-разложения данных обменного курса (подробнее о дискретном вейвлет-анализе см. в главе 3). Нетрудно догадаться, что коэффициенты разложения позволяют более отчетливо наблюдать свойства исходных данных: определять расположение их сингулярностей и, как следствие, осуществлять временную и частотную локализацию. Рис. 1.2. Курс обмена DEM/USD в течение первого квартала торгов Wavhkpt12.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Рис. 1.3. Первые 1024 значения обменного курса DEM/USD. Время-частотная плоскость разложения данных. Wavhkpt13.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Итак, ось абсцисс время-частотной плоскости разложения здесь содержит 4 уровня, обозначенных через 2, 3, 4, 5, которые соответствуют различным уровням спроса на валюту. Понятно, что уровень 5 отображает наибольшую частоту выставления того или иного курса обмена, тогда как уровень 2 отображает, напротив, наименьшую частоту (высота каждой полоски, изображающей на графике коэффициент разложения, является пропорциональной его абсолютному значению). Несколько дней торгов в начале недели отмечаются высокой активностью: в пользу такого заключения говорят значения коэффициентов разложения, разбивающие двухнедельный период торгов на 4 временных отрезка. Следующий, более высокий уровень 3, разбивающий двухнедельный период на 8 временных интервалов, позволяет уточнить время активности. Уровень 4, в котором каждый коэффициент разложения отображает интенсивность биржевого дня, указывает на резкое изменение активности утром 4 октября. Аналогичные исследования можно провести также для других двух недель работы биржи (см. рис. 1.4). Как следует из рисунка, данный период времени подобными резкими перепадами активности не обозначен. Рис. 1.4. Распределение коэффициентов второй половины октября. Wavhkpt14.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Сравним теперь обменный курс немецкой марки и американского доллара с курсом обмена марки и японской йены. Активность валютного рынка (см. рис. 1.5), как следует из коэффициентов разложения данных спроса на йены, оказалась прямо противоположной активности торгов американской валютой. Рис. 1.5. Активность торгов японской йеной в течение первых двух недель октября. Wavhkpt15.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Применение техники вейвлет-анализа для исследования ежемесячного подведения рынка акций можно найти в работах [132, 148]. Рис. 1.6. Активность спроса на японскую йену во второй половине октября. Wavhkpt16.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Нетрудно догадаться, что анализ Фурье не позволил бы исследовать время подъема и спада активности торгов на валютной бирже: в противоположность вейвлет-анализу анализ Фурье не способен локализовать частотную информацию во времени. На рис. 1.7 показан спектр Фурье курса немецкой марки по отношению к йене, зарегистрированный во второй половине октября (см. рис. 1.6). Действительно, активность торгов, наблюдаемая в начале оси абсцисс спектра, указывает на факт резкого изменения спроса, однако не уточняет собственно время такого изменения. Рис. 1.7. Периодограмма данных спроса на йены. Wavhkpt17.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Способность вейвлет-анализа к временной локализации показала свою исключительную полезность для задач оценивания плотности распределения, а также регрессионного оценивания. Так, на рис. 1.8 показаны оценки плотности распределения расходов большинства бельгийцев на коммунальные услуги: двумодальная функция распределения, рассчитанная с использованием правила Сильвермана (см. [70, 136]), а её вейвлет-оценка, построенная на основе гистограммы с достаточно большим числом интервалов. Имея один интервал в качестве своего носителя, функция распределения оказывается нечувствительной к различным доминирующим модам – выбросам, всевозможным изменениям формы кривой, тогда как вейвлет-оценка плотности устойчиво моделирует два хвоста распределения и при этом обеспечивает более общую, сглаженную картину расходов, указывая, таким образом, на основной объект платежей бельгийцев. Рис. 1.8. Коммунальные платежи бельгийцев. Вейвлет-оценка плотности распределения расходов (сплошная линия) и функция плотности их распределения по Сильверману (пунктир). Wavhkpt18.xpl на http://www.quantlet.de/scripts/wav/html Отметим в заключение, что свойство локального сглаживания может быть успешно использовано также для решения задач регрессионного оценивания и фильтрации, как будет показано в гл. 10. В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу |
|